Questão 1. Calcule \iint_{D} x y d A, onde D é a região (do tipo I) limitada pela parábola y=x^{2} e pela reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x\,y\,dA
onde D é a região limitada pela parábola y=x^{2} por baixo e pela reta y=1 por cima.
O conteúdo aqui é troca de ordem de integração e uso da paridade da função (função ímpar em x integrada sobre intervalo simétrico).

Passo 2

Para descrever D como região do tipo I, projetamos sobre o eixo y. Note que y varia de 0 até 1, e para cada y fixo, x varia entre as raízes de y=x^2, isto é,
-\,\sqrt{y}\;\le x\;\le\sqrt{y}.

Passo 3

Escrevemos então a integral iterada e observamos que a parte em x é ímpar:
\iint_{D} x\,y\,dA =\int_{y=0}^{1}\Bigl(\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}x\,y\,dx\Bigr)dy.
Como y é tratado como constante na integração em x,
\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}x\,y\,dx =y\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}x\,dx =y\biggl[\frac{x^{2}}{2}\biggr]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} =y\Bigl(\frac{y}{2}-\frac{y}{2}\Bigr) =0.
Logo o integrando em y é zero em toda a faixa, e a integral total vale zero.

Resposta

0

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