Questão 52. Encontre a inversa da matriz X=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 6 & 3 \\\\ 1 & 3 & 2\end{array}\right] usando:
o método da matriz adjunta;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a inversa da matriz
X=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 6 & 3 \\[4pt] 1 & 3 & 2\end{pmatrix}
usando o método da matriz adjunta (adjugada). Os dados que temos são os nove elementos da matriz X mostrados acima. O objetivo final é obter X^{-1}.]

Passo 2

Vou explicar o método da matriz adjunta passo a passo (sem pular etapas), porque é ele que o enunciado exige.
  • Fórmula principal: se \det(X)\neq 0, então
X^{-1}=\frac{1}{\det(X)}\operatorname{adj}(X),
onde \operatorname{adj}(X) é a matriz adjunta (ou adjugada) de X.
  • O que é \operatorname{adj}(X): é a transposta da matriz dos cofatores de X. Escrevendo:
\operatorname{adj}(X)=\big(C_{ij}\big)^{\!T},
onde C_{ij} é o cofator do elemento a_{ij} de X.
  • Como obter C_{ij}:
    1. Primeiro calcule o menor M_{ij}, que é o determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j de X.
    2. Em seguida o cofator é
    C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
    O padrão de sinais para uma matriz 3\times3 é
    \begin{pmatrix} + & - & +\\[2pt] - & + & -\\[2pt] + & - & + \end{pmatrix},
    isto é, o sinal alterna conforme i+j é par (positivo) ou ímpar (negativo).
  • Observação importante: se \det(X)=0, a inversa não existe. Por isso primeiro calculamos \det(X).
Vou aplicar tudo isso passo a passo à matriz X.]

Passo 3

Calcular \det(X) expandindo pela primeira linha (fórmula de Laplace pela primeira linha). Temos
\det(X)=1\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 3\\[2pt] 3 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 6\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}6 & 3\\[2pt] 3 & 2\end{pmatrix}=6\cdot2-3\cdot3=12-9=3,
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-3\cdot1=2-3=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 6\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-6\cdot1=3-6=-3.
Substituindo:
\det(X)=1\cdot3-1\cdot(-1)+1\cdot(-3)=3+1-3=1.
Conclusão: \det(X)=1, diferente de zero, logo a inversa existe e será simplesmente a adjugada (pois dividiremos por 1).]

Passo 4

Calcular todos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Vou computar elemento a elemento, mostrando o menor e o sinal.
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}6 & 3\\[2pt] 3 & 2\end{pmatrix}=3. Como i+j=2 é par, C_{11}=+3.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}=-1. Como i+j=3 é ímpar, C_{12}=(-1)\cdot(-1)=+1.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 6\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}=-3. Como i+j=4 é par, C_{13}=+(-3)=-3.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 3 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot3=2-3=-1. Como i+j=3 é ímpar, C_{21}=(-1)\cdot(-1)=+1.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1. Como i+j=4 é par, C_{22}=+1.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot1=3-1=2. Como i+j=5 é ímpar, C_{23}=(-1)\cdot2=-2.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 6 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot6=3-6=-3. Como i+j=4 é par, C_{31}=+(-3)=-3.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot1=3-1=2. Como i+j=5 é ímpar, C_{32}=(-1)\cdot2=-2.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 1 & 6\end{pmatrix}=1\cdot6-1\cdot1=6-1=5. Como i+j=6 é par, C_{33}=+5.
Agora organizo os cofatores em matriz (matriz dos cofatores):
\big(C_{ij}\big)=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -3\\[4pt] 1 & 1 & -2\\[4pt] -3 & -2 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Formar a adjugada transpondo a matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(X)=\big(C_{ij}\big)^{\!T}.
Como a matriz dos cofatores é neste caso simétrica (os elementos C_{ij} e C_{ji} coincidem), a transposta é a própria matriz:
\operatorname{adj}(X)=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -3\\[4pt] 1 & 1 & -2\\[4pt] -3 & -2 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Aplicar a fórmula da inversa:
X^{-1}=\frac{1}{\det(X)}\operatorname{adj}(X).
Como \det(X)=1, obtemos simplesmente
X^{-1}=\operatorname{adj}(X)=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -3\\[4pt] 1 & 1 & -2\\[4pt] -3 & -2 & 5 \end{pmatrix}.]

Resposta

X^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -3\\[4pt] 1 & 1 & -2\\[4pt] -3 & -2 & 5 \end{pmatrix}]

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