Questão 52. Encontre a inversa da matriz
usando:
o método da matriz adjunta;
o método da matriz adjunta;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a inversa da matriz
usando o método da matriz adjunta (adjugada). Os dados que temos são os nove elementos da matriz
mostrados acima. O objetivo final é obter
.]
Passo 2
Vou explicar o método da matriz adjunta passo a passo (sem pular etapas), porque é ele que o enunciado exige.
- Fórmula principal: se
, então
onde
é a matriz adjunta (ou adjugada) de
.
- O que é
: é a transposta da matriz dos cofatores de . Escrevendo:
onde
é o cofator do elemento
de
.
-
Como obter
:- Primeiro calcule o menor
, que é o determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha e a coluna de . - Em seguida o cofator é
O padrão de sinais para uma matriz éisto é, o sinal alterna conforme é par (positivo) ou ímpar (negativo). - Primeiro calcule o menor
-
Observação importante: se
, a inversa não existe. Por isso primeiro calculamos .
Vou aplicar tudo isso passo a passo à matriz
.]
Passo 3
Calcular
expandindo pela primeira linha (fórmula de Laplace pela primeira linha). Temos
Agora calculo cada determinante
:
Substituindo:
Conclusão:
, diferente de zero, logo a inversa existe e será simplesmente a adjugada (pois dividiremos por
).]
Passo 4
Calcular todos os menores
e os cofatores
. Vou computar elemento a elemento, mostrando o menor e o sinal.
-
. Como é par, . -
. Como é ímpar, . -
. Como é par, . -
. Como é ímpar, . -
. Como é par, . -
. Como é ímpar, . -
. Como é par, . -
. Como é ímpar, . -
. Como é par, .
Agora organizo os cofatores em matriz (matriz dos cofatores):
Passo 5
Formar a adjugada transpondo a matriz dos cofatores:
Como a matriz dos cofatores é neste caso simétrica (os elementos
e
coincidem), a transposta é a própria matriz:
Passo 6
Aplicar a fórmula da inversa:
Como
, obtemos simplesmente