Questão 6.Dada a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(6 y, x)
(a)(2.0)pontos.Encontre os valores próprios de T
(b)(1.0)ponto.Encontre os espaços próprios de T
(c)(1.0)ponto.Apresente os vetores próprios de T

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y)=(6y,\;x).
Precisamos encontrar
  1. os valores próprios \lambda de T,
  2. os espaços próprios (eigenespaços) associados a cada \lambda,
  3. vetores próprios (autovetores) correspondentes.

Passo 2

Para achar os valores próprios, representamos T em relação à base canônica. Sua matriz é
A = \begin{pmatrix}0 & 6 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
O polinômio característico vem de
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 6 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2 - 6.]

Passo 3

Resolvendo
\lambda^2 - 6 = 0
obtém-se
\lambda = \sqrt{6} \quad\text{e}\quad \lambda = -\sqrt{6}.

Passo 4

Para \lambda = \sqrt{6}\), resolvemos \((A - \sqrt{6}\,I)(x,y)=0\), isto é \[\begin{cases} -\sqrt{6}\,x + 6\,y = 0,\\\ x - \sqrt{6}\,y = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (x = \sqrt{6},y]. Logo
E_{\sqrt{6}} = \{(x,y)\mid x=\sqrt{6}\,y\} = \mathrm{span}\{(\sqrt{6},1)\}.

Passo 5

Para \lambda = -\sqrt{6}\), resolvemos \((A + \sqrt{6}\,I)(x,y)=0\), isto é \[\begin{cases} \sqrt{6}\,x + 6\,y = 0,\\\ x + \sqrt{6}\,y = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (x = -\sqrt{6},y]. Logo
E_{-\sqrt{6}} = \{(x,y)\mid x=-\sqrt{6}\,y\} = \mathrm{span}\{(\sqrt{6},-1)\}.

Resposta

(a) Os valores próprios são \lambda = \sqrt{6} e \lambda = -\sqrt{6}.
(b) Os espaços próprios são
E_{\sqrt{6}} = \mathrm{span}\{(\sqrt{6},1)\}, \quad E_{-\sqrt{6}} = \mathrm{span}\{(\sqrt{6},-1)\}.
(c) Como vetores próprios pode-se escolher
(\sqrt{6},1) \quad\text{e}\quad (\sqrt{6},-1),
ou quaisquer múltiplos não nulos desses.

Exercícios relacionados