Questão 2. Utilize coordenadas polares para calcular \iint_{D} y d A, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 3 , isto é, D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 9, y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y\,dA
sobre a metade superior do disco de raio 3, isto é,
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\;y\ge0\}.
O conteúdo da matéria é mudança para coordenadas polares, onde usaremos
\;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\; e
\;dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
y = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta,
logo o integrando fica
y\,dA = (r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.
Os limites são
r \in [0,3] e \theta \in [0,\pi].

Passo 3

Montamos a integral como
\iint_{D} y\,dA = \int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{3} r^{2}\sin\theta \;dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\Bigr)\;\Bigl(\int_{0}^{3}r^{2}\,dr\Bigr).

Passo 4

Calculamos a parte radial:
\int_{0}^{3}r^{2}\,dr = \Bigl[\tfrac{r^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{3} = \tfrac{3^{3}}{3} =9.

Passo 5

Calculamos a parte angular:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \Bigl[-\cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos\pi\bigr)-\bigl(-\cos0\bigr) = (1)-( -1) =2.

Passo 6

Multiplicando as duas contribuições, obtemos
9 \times 2 = 18.

Resposta

\;18

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