— QUESTÃO 51
O limite da função
, com
tendendo a zero, é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
Passo 1
O enunciado pede o limite da função
quando
tende a zero. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é a razão entre a diferença de uma raiz e o número
pelo próprio . - O ponto de interesse é
. - As alternativas possíveis são
.
Passo 2
Vamos checar o que acontece se simplesmente substituirmos
(isso nos diz que tipo de limite temos). Substituindo em
obtemos o numerador
e o denominador
. Então a expressão tem a forma indeterminada
. Expliquei isso porque quando aparece
não podemos concluir o valor do limite por substituição direta; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma técnica clássica para esse tipo de expressão com raiz é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, por
. Isso usa a identidade de diferença de quadrados:
Aplicando aqui:
Agora desenvolvemos o numerador usando a identidade:
Passo 4
Substituindo o numerador simplificado, a expressão fica
Podemos cancelar um fator
(válido para
, e para cálculo do limite isso é permitido):
Agora que a indeterminação foi removida, podemos tentar avaliar o limite por substituição direta, usando que a raiz quadrada é contínua nas proximidades de
. Ao tomar
obtemos
A expressão do passo anterior é
. Isso mostra como o procedimento de racionalizar e cancelar elimina a forma
e permite avaliar o limite por substituição contínua. (Dica rápida: para limites do tipo
a mesma técnica de multiplicar pelo conjugado costuma resolver.)
Resposta
(A) 0