— QUESTÃO 51

O limite da função f(t)=\frac{\sqrt[2]{2 t^{2}+4}-2}{t}, com t tendendo a zero, é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(t)=\frac{\sqrt{2 t^{2}+4}-2}{t}
quando t tende a zero. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a razão entre a diferença de uma raiz e o número 2 pelo próprio t.
  • O ponto de interesse é t\to 0.
  • As alternativas possíveis são 0,1,2,3.

Passo 2

Vamos checar o que acontece se simplesmente substituirmos t=0 (isso nos diz que tipo de limite temos). Substituindo em f(t) obtemos o numerador \sqrt{2\cdot 0^{2}+4}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0 e o denominador t=0. Então a expressão tem a forma indeterminada \frac{0}{0}. Expliquei isso porque quando aparece \frac{0}{0} não podemos concluir o valor do limite por substituição direta; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma técnica clássica para esse tipo de expressão com raiz é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, por \sqrt{2 t^{2}+4}+2. Isso usa a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aplicando aqui:
\frac{\sqrt{2 t^{2}+4}-2}{t}\cdot\frac{\sqrt{2 t^{2}+4}+2}{\sqrt{2 t^{2}+4}+2} = \frac{(\sqrt{2 t^{2}+4})^{2}-2^{2}}{t\bigl(\sqrt{2 t^{2}+4}+2\bigr)}.
Agora desenvolvemos o numerador usando a identidade:
(\sqrt{2 t^{2}+4})^{2}-2^{2}=2 t^{2}+4-4=2 t^{2}.

Passo 4

Substituindo o numerador simplificado, a expressão fica
\frac{2 t^{2}}{t\bigl(\sqrt{2 t^{2}+4}+2\bigr)}.
Podemos cancelar um fator t (válido para t\neq 0, e para cálculo do limite isso é permitido):
\frac{2 t^{2}}{t\bigl(\sqrt{2 t^{2}+4}+2\bigr)}=\frac{2 t}{\sqrt{2 t^{2}+4}+2}.
Agora que a indeterminação foi removida, podemos tentar avaliar o limite por substituição direta, usando que a raiz quadrada é contínua nas proximidades de t=0. Ao tomar t\to 0 obtemos
\frac{2\cdot 0}{\sqrt{2\cdot 0^{2}+4}+2}.
A expressão do passo anterior é \frac{2\cdot 0}{\sqrt{4}+2}. Isso mostra como o procedimento de racionalizar e cancelar elimina a forma \frac{0}{0} e permite avaliar o limite por substituição contínua. (Dica rápida: para limites do tipo \frac{\sqrt{a+bt}-\sqrt{a}}{t} a mesma técnica de multiplicar pelo conjugado costuma resolver.)

Resposta

(A) 0

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