Questão 52. Encontre a inversa da matriz X=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 6 & 3 \\\\ 1 & 3 & 2\end{array}\right] usando:
operações elementares.

Passo 1

O enunciado pede encontrar a matriz inversa da matriz
X=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 6 & 3 \\[4pt] 1 & 3 & 2\end{pmatrix},
usando operações elementares.
Informações dadas:
  • A matriz X é quadrada 3\times3 com entradas listadas acima.
  • A tarefa é calcular X^{-1}, a matriz que satisfaz X X^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): método da matriz aumentada com operações elementares.
Ideia: formar a matriz aumentada [X \mid I] e aplicar operações elementares por linhas até obter [I \mid X^{-1}]. Operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) correspondem a multiplicações à esquerda por matrizes elementares e preservam a solução. Vamos construir a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 6 & 3 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeiro objetivo: zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna (usar a primeira linha como pivô). Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
    Cálculo:
R_2: \\ (1,6,3)-(1,1,1)=(0,5,2),\qquad\text{lado direito }(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0).
R_3: \\ (1,3,2)-(1,1,1)=(0,2,1),\qquad\text{lado direito }(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1).
Matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 5 & 2 & -1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 2 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora trabalhamos na segunda coluna: queremos pivô igual a 1 na posição (2,2). Dividimos a segunda linha por 5:
  • R_2 \leftarrow \dfrac{1}{5}R_2.
    Cálculo:
R_2 = \left(0,1,\tfrac{2}{5}\;\bigg|\;-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5},0\right).
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\[4pt] 0 & 2 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminar os elementos não nulos na segunda coluna fora do pivô:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (para zerar a entrada (1,2)),
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 (para zerar a entrada (3,2)).
Cálculos detalhados:
Para R_1:
\text{colunas esquerdas: }(1,1,1)-(0,1,\tfrac{2}{5})=(1,0,\tfrac{3}{5}).
\text{colunas direitas: }(1,0,0)-\big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5},0\big)=(1+\tfrac{1}{5},0-\tfrac{1}{5},0)=(\tfrac{6}{5},-\tfrac{1}{5},0).
Para R_3:
\text{colunas esquerdas: }(0,2,1)-2(0,1,\tfrac{2}{5})=(0,0,\tfrac{1}{5}).
\text{colunas direitas: }(-1,0,1)-2\big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5},0\big)=\big(-1+\tfrac{2}{5},\,0-\tfrac{2}{5},\,1-0\big)=\big(-\tfrac{3}{5},-\tfrac{2}{5},1\big).
Matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{3}{5} & \tfrac{6}{5} & -\tfrac{1}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{2}{5} & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Terceira coluna: pivô atualmente é \tfrac{1}{5} na posição (3,3). Multiplicamos a terceira linha por 5 para obter pivô 1:
  • R_3 \leftarrow 5R_3.
    Cálculo:
R_3 = \left(0,0,1 \;\big|\; -3,\,-2,\,5\right).
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{3}{5} & \tfrac{6}{5} & -\tfrac{1}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & 5 \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminar entradas acima do pivô da terceira coluna:
  • R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{5}R_3 (zera (1,3)),
  • R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{2}{5}R_3 (zera (2,3)).
Cálculos:
Para R_1:
\text{lado esquerdo: }(1,0,\tfrac{3}{5})-\tfrac{3}{5}(0,0,1)=(1,0,0).
\text{lado direito: }\big(\tfrac{6}{5},-\tfrac{1}{5},0\big)-\tfrac{3}{5}(-3,-2,5)
\hphantom{\text{lado direito: }}=\big(\tfrac{6}{5},-\tfrac{1}{5},0\big)-\big(-\tfrac{9}{5},-\tfrac{6}{5},3\big) =\big(\tfrac{6}{5}+\tfrac{9}{5},\,-\tfrac{1}{5}+\tfrac{6}{5},\,0-3\big) =(3,\,1,\,-3).
Para R_2:
\text{lado esquerdo: }(0,1,\tfrac{2}{5})-\tfrac{2}{5}(0,0,1)=(0,1,0).
\text{lado direito: }\big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5},0\big)-\tfrac{2}{5}(-3,-2,5)
\hphantom{\text{lado direito: }}=\big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5},0\big)-\big(-\tfrac{6}{5},-\tfrac{4}{5},2\big) =\big(-\tfrac{1}{5}+\tfrac{6}{5},\;\tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5},\;0-2\big) =(1,\,1,\,-2).
Após essas operações, a parte esquerda é a identidade I e a parte direita é a inversa X^{-1} (obtida por eliminação):
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & -3 \\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & 5 \end{array}\right].]

Passo 8

Verificação (curta): multiplicando X pela matriz à direita obtemos a identidade (confere-se por produto de matrizes). Esse passo garante que a matriz encontrada é realmente a inversa.

Resposta

X^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\[4pt] 1 & 1 & -2 \\[4pt] -3 & -2 & 5 \end{pmatrix}]

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