Questä̃o 2 - [ 2.50 ponto(s) ] - Use o método da Razão Áurea para identificar o ponto de mínimo da funçio f(x)=4 x^{6}+12 x-1. Considere o intervalo x_{i}=-1.5 \mathrm{e} x_{f}=1.0. Realize a aproximação do resultado com cinco casas decimais e até a quarta iteração.
a) \cong-0.6250
b) \cong-0.8233
c) \cong-0.9098
d) \cong-0.5742
e) \cong-0.7313

Passo 1

O enunciado pede localizar o mínimo da função
f(x)=4x^{6}+12x-1
no intervalo inicial \,a_{0}=-1{,}5, b_{0}=1{,}0 usando o método da Razão Áurea. Esse método itera definindo dois pontos internos
x_{1}=b-\varphi\,(b-a), \quad x_{2}=a+\varphi\,(b-a),
onde
\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0{,}61803,
compara f(x_{1}) e f(x_{2}), e reduz o intervalo [a,b] para a subparte que contém o mínimo. Vamos fazer até a quarta iteração, guardando cinco casas decimais em cada x.

Passo 2

Iteração 1:
a_{0}=-1{,}50000,\quad b_{0}=1{,}00000,\quad b_{0}-a_{0}=2{,}50000.
x_{1}^{(1)}=1{,}00000-0{,}61803\cdot2{,}50000=-0{,}54508, \quad x_{2}^{(1)}=-1{,}50000+0{,}61803\cdot2{,}50000=0{,}04508.
Calculamos
f(-0{,}54508)\approx-7{,}43699, \quad f(0{,}04508)\approx-0{,}45904.
Como f(-0{,}54508)<f(0{,}04508), o mínimo fica em [a_{1},b_{1}]=[-1{,}50000,\;0{,}04508].

Passo 3

Iteração 2:
a_{1}=-1{,}50000,\quad b_{1}=0{,}04508,\quad b_{1}-a_{1}=1{,}54508.
x_{1}^{(2)}=0{,}04508-0{,}61803\cdot1{,}54508=-0{,}90983, \quad x_{2}^{(2)}=-1{,}50000+0{,}61803\cdot1{,}54508=-0{,}54508.
f(-0{,}90983)\approx-9{,}65320, \quad f(-0{,}54508)\approx-7{,}43699.
Como f(-0{,}90983)<f(-0{,}54508), o mínimo fica em [a_{2},b_{2}]=[-1{,}50000,\;-0{,}54508].

Passo 4

Iteração 3:
a_{2}=-1{,}50000,\quad b_{2}=-0{,}54508,\quad b_{2}-a_{2}=0{,}95492.
x_{1}^{(3)}=-0{,}54508-0{,}61803\cdot0{,}95492=-1{,}13525, \quad x_{2}^{(3)}=-1{,}50000+0{,}61803\cdot0{,}95492=-0{,}90983.
f(-1{,}13525)\approx-6{,}04116, \quad f(-0{,}90983)\approx-9{,}65320.
Agora f(-0{,}90983)<f(-1{,}13525), então o intervalo vira [a_{3},b_{3}]=[-1{,}13525,\;-0{,}54508].

Passo 5

Iteração 4:
a_{3}=-1{,}13525,\quad b_{3}=-0{,}54508,\quad b_{3}-a_{3}=0{,}59017.
x_{1}^{(4)}=-0{,}54508-0{,}61803\cdot0{,}59017=-0{,}90998, \quad x_{2}^{(4)}=-1{,}13525+0{,}61803\cdot0{,}59017=-0{,}77035.
f(-0{,}90998)\approx-9{,}64667, \quad f(-0{,}77035)\approx-9{,}40990.
Como f(-0{,}90998)<f(-0{,}77035), o melhor ponto estimado é
x_{\min}\approx-0{,}90998.

Resposta

c) \approx -0{,}9098

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