Determine o resto da divisão de 3^{2024} por 47.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 3^{2024} por 47. O conteúdo envolvido é aritmética modular e o Teorema de Fermat.

Passo 2

O Teorema de Fermat diz que, para p primo e a não divisível por p,
a^{p-1}\equiv1\pmod p.
Aqui, p=47 e a=3, então
3^{46}\equiv1\pmod{47}.

Passo 3

Para aproveitar isso, reduzimos o expoente 2024 módulo 46. Calculamos:
2024 = 46 \times 44,
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2024 \equiv 0 \pmod{46}.

Passo 4

Escrevemos
3^{2024} = \bigl(3^{46}\bigr)^{44} \equiv 1^{44} \equiv 1 \pmod{47}.

Resposta

O resto da divisão de 3^{2024} por 47 é 1.

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