Questão 53. Obtenha todas as matrizes B que comutam com a matriz A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 4 & -3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}
e pede todas as matrizes B (2×2, de coeficientes reais) que comutam com A, ou seja, todas as B tais que
AB=BA.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A é uma matriz 2\times2 com entradas 1,2,4,-3.
  • O objetivo é descrever todos os B (com três ou quatro parâmetros livres) que satisfazem AB=BA.]

Passo 2

Vou usar duas abordagens complementares (úteis em prova):
  1. Resolver explicitamente o sistema linear obtido de AB=BA (método elementar e definitivo).
  2. Comentar a justificativa teórica curta: se A tem autovalores distintos, então toda matriz que comuta com A é um polinômio em A. Vou calcular os autovalores de A para justificar essa observação.
Cálculo rápido dos autovalores de A. O traço é \operatorname{tr}(A)=1+(-3)=-2 e o determinante é \det(A)=1\cdot(-3)-2\cdot4=-11. O polinômio característico é
\lambda^{2} - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det(A)=\lambda^{2}+2\lambda-11.
O discriminante é \Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot(-11)=4+44=48\neq0, logo os autovalores são reais e distintos. Isso indica (pela teoria) que o conjunto de matrizes que comutam com A é o espaço gerado por I e A, ou seja, todas as combinações lineares \alpha I+\beta A. Mas para a prova vou obter isso também de forma direta e elementar.

Passo 3

Escrevemos uma matriz genérica B e calculamos AB e BA. Seja
B=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix},
com x,y,z,w\in\mathbb{R}. Então
AB=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]4 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x+2z & y+2w\\[4pt]4x-3z & 4y-3w\end{pmatrix},
e
BA=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]4 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x+4y & 2x-3y\\[4pt]z+4w & 2z-3w\end{pmatrix}.]

Passo 4

Impondo AB=BA\) equacionamos as entradas correspondentes. Igualando as quatro entradas obtemos o sistema \[\begin{cases} x+2z = x+4y,\\[4pt] y+2w = 2x-3y,\\[4pt] 4x-3z = z+4w,\\[4pt] 4y-3w = 2z-3w. \end{cases}
Agora simplifico cada equação:
Da primeira: (x+2z=x+4y] dá
2z=4y\quad\Rightarrow\quad z=2y.
Da quarta: 4y-3w=2z-3w
4y=2z\quad\Rightarrow\quad z=2y,
que é a mesma condição (consistência OK).
Da segunda: y+2w=2x-3y rearranjando:
2x=4y+2w\quad\Rightarrow\quad x=2y+w.
Da terceira: 4x-3z=z+4w rearranjando:
4x=4z+4w\quad\Rightarrow\quad x=z+w.]

Passo 5

Usando z=2y na equação x=z+w obtemos
x=2y+w,
que coincide com a outra expressão para x. Portanto as condições finais são
z=2y,\qquad x=2y+w,
com y e w livres (parâmetros). Assim a matriz B geral que comuta com A tem a forma
B=\begin{pmatrix}2y+w & y\\[4pt]2y & w\end{pmatrix},
onde y,w\in\mathbb{R} são parâmetros arbitrários.]

Passo 6

Mostro que a forma encontrada é exatamente a de combinações lineares de I e A. Escrevendo
B=\alpha I+\beta A
temos
\alpha I+\beta A =\alpha\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha+\beta & 2\beta\\[4pt]4\beta & \alpha-3\beta\end{pmatrix}.
Comparando com a forma \begin{pmatrix}2y+w & y\\[4pt]2y & w\end{pmatrix}, escolhemos \beta=\dfrac{y}{2} e \alpha=w+\dfrac{3y}{2}. Substituindo obtém-se coincidência total das entradas (verificação direta). Portanto toda matriz que comuta com A pode ser escrita como
B=\alpha I+\beta A,\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Isto confirma também a observação teórica: como A tem autovalores distintos, o centralizador de A é exatamente o espaço de polinômios em A, que em dimensão 2 reduz a combinações lineares de I e A.]

Passo 7

Resumo intuitivo e dica de prova: no exame é seguro fazer a conta direta (como fiz acima) para obter os parâmetros livres; se souber a teoria, pode acelerar respondendo que, por A ter autovalores distintos, qualquer B que comute com A é da forma \alpha I+\beta A. Tanto a solução direta quanto a teoria levam ao mesmo conjunto de matrizes. Exemplos rápidos: \alpha=1,\beta=0 B=I; \alpha=0,\beta=1 B=A; \alpha=0,\beta=\tfrac12 B=\begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\[4pt]1 & -\tfrac32\end{pmatrix}, que satisfaz AB=BA.]

Resposta

Todas as matrizes B que comutam com A são exatamente as da forma
B=\alpha I+\beta A,\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R},
isto é, em forma explícita,
B=\begin{pmatrix}\alpha+\beta & 2\beta\\[4pt]4\beta & \alpha-3\beta\end{pmatrix},\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.]

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