Questão 53. Obtenha todas as matrizes B que comutam com a matriz A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 4 & -3\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}
e pede todas as matrizes B (2×2, de coeficientes reais) que comutam com A, ou seja, todas as B tais que
AB=BA.
Informações relevantes que temos do enunciado:
A é uma matriz 2\times2 com entradas 1,2,4,-3.
O objetivo é descrever todos os B (com três ou quatro parâmetros livres) que satisfazem AB=BA.]
Passo 2
Vou usar duas abordagens complementares (úteis em prova):
Resolver explicitamente o sistema linear obtido de AB=BA (método elementar e definitivo).
Comentar a justificativa teórica curta: se A tem autovalores distintos, então toda matriz que comuta com A é um polinômio em A. Vou calcular os autovalores de A para justificar essa observação.
Cálculo rápido dos autovalores de A. O traço é \operatorname{tr}(A)=1+(-3)=-2 e o determinante é \det(A)=1\cdot(-3)-2\cdot4=-11. O polinômio característico é
O discriminante é \Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot(-11)=4+44=48\neq0, logo os autovalores são reais e distintos. Isso indica (pela teoria) que o conjunto de matrizes que comutam com A é o espaço gerado por I e A, ou seja, todas as combinações lineares \alpha I+\beta A. Mas para a prova vou obter isso também de forma direta e elementar.
Passo 3
Escrevemos uma matriz genérica B e calculamos AB e BA. Seja
Comparando com a forma \begin{pmatrix}2y+w & y\\[4pt]2y & w\end{pmatrix}, escolhemos \beta=\dfrac{y}{2} e \alpha=w+\dfrac{3y}{2}. Substituindo obtém-se coincidência total das entradas (verificação direta). Portanto toda matriz que comuta com A pode ser escrita como
Isto confirma também a observação teórica: como A tem autovalores distintos, o centralizador de A é exatamente o espaço de polinômios em A, que em dimensão 2 reduz a combinações lineares de I e A.]
Passo 7
Resumo intuitivo e dica de prova: no exame é seguro fazer a conta direta (como fiz acima) para obter os parâmetros livres; se souber a teoria, pode acelerar respondendo que, por A ter autovalores distintos, qualquer B que comute com A é da forma \alpha I+\beta A. Tanto a solução direta quanto a teoria levam ao mesmo conjunto de matrizes. Exemplos rápidos: \alpha=1,\beta=0 dá B=I; \alpha=0,\beta=1 dá B=A; \alpha=0,\beta=\tfrac12 dá B=\begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\[4pt]1 & -\tfrac32\end{pmatrix}, que satisfaz AB=BA.]
Resposta
Todas as matrizes B que comutam com A são exatamente as da forma