Questão 54. Se a matriz
é simétrica, calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e diz que
é simétrica. A pergunta é: calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A matriz
está explicitada acima (peguei os elementos da definição dada no enunciado). - A condição:
é simétrica, ou seja, . - O que se pede:
.]
Passo 2
Entender a condição de simetria e traduzi-la em equações entre
.
Uma matriz
é simétrica quando seus elementos satisfazem
para todo
. Aplicando isso aos pares de posições diferentes da matriz dada:
- Igualando
com :
- Igualando
com :
- Igualando
com :
Essas três equações são as condições que
devem satisfazer.
Passo 3
Resolver o sistema linear obtido das igualdades.
Escrevendo as três equações de forma limpa:
Reorganizando cada equação para termos em [x,y,z) no mesmo lado:
Da primeira:
Da segunda:
Da terceira:
Agora o sistema é
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Substituindo (y=3] na primeira equação:
Substituindo
e
na terceira equação
:
Logo
. Então
. Conclusão:
Passo 4
Construir a matriz
numérica substituindo
.
Calcular cada elemento usando os valores obtidos (peguei esses valores das expressões dos elementos da matriz original):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Portanto
Passo 5
Usar propriedades de determinante para simplificar o que se pede.
Propriedades importantes (vou explicar de um jeito direto):
- Para qualquer matriz quadrada
vale . Ou seja, transpor não muda o determinante. - Para qualquer matriz invertível
vale . Ou seja, o determinante do inverso é o inverso do determinante.
Aplicando essas propriedades a
:
Portanto basta calcular
e depois tomar seu inverso multiplicativo.
Passo 6
Calcular
. Vou usar a regra de Sarrus (método prático para matrizes
) e mostrar os produtos explicitamente.
Para
a soma dos produtos das diagonais principais (descendo para a direita) é
A soma dos produtos das diagonais secundárias (descendo para a esquerda) é
A regra de Sarrus diz que
Logo
.]
Passo 7
Finalmente, pelo que foi mostrado no Passo 5,