Questão 54. Se a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & x-y-z & 3 x-y+z \\\\ 2 x-9 & 5 & 2 x-7 \\\ x+y+3 & y-z-1 & 7\end{array}\right) é simétrica, calcule \operatorname{det}\left(A^{t}\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & x-y-z & 3x-y+z\\[4pt] 2x-9 & 5 & 2x-7\\[4pt] x+y+3 & y-z-1 & 7 \end{pmatrix}
e diz que A é simétrica. A pergunta é: calcular \operatorname{det}\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A está explicitada acima (peguei os elementos da definição dada no enunciado).
  • A condição: A é simétrica, ou seja, A=A^{t}.
  • O que se pede: \operatorname{det}\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}.]

Passo 2

Entender a condição de simetria e traduzi-la em equações entre x,y,z.
Uma matriz A é simétrica quando seus elementos satisfazem a_{ij}=a_{ji} para todo i,j. Aplicando isso aos pares de posições diferentes da matriz dada:
  • Igualando a_{12} com a_{21}:
x-y-z=2x-9.
  • Igualando a_{13} com a_{31}:
3x-y+z=x+y+3.
  • Igualando a_{23} com a_{32}:
2x-7=y-z-1.
Essas três equações são as condições que x,y,z devem satisfazer.

Passo 3

Resolver o sistema linear obtido das igualdades.
Escrevendo as três equações de forma limpa:
\begin{cases} x-y-z=2x-9,\\[4pt] 3x-y+z=x+y+3,\\[4pt] 2x-7=y-z-1. \end{cases}
Reorganizando cada equação para termos em [x,y,z) no mesmo lado:
Da primeira:
x-y-z-(2x-9)=0 \quad\Rightarrow\quad -x-y-z+9=0 \quad\Rightarrow\quad x+y+z=9.
Da segunda:
3x-y+z-(x+y+3)=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-2y+z-3=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-2y+z=3.
Da terceira:
2x-7-(y-z-1)=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-y+z-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-y+z=6.
Agora o sistema é
\begin{cases} x+y+z=9,\\[4pt] 2x-2y+z=3,\\[4pt] 2x-y+z=6. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da terceira:
(2x-y+z)-(2x-2y+z)=6-3 \quad\Rightarrow\quad y=3.
Substituindo (y=3] na primeira equação:
x+3+z=9 \quad\Rightarrow\quad x+z=6 \quad\Rightarrow\quad z=6-x.
Substituindo y=3 e z=6-x na terceira equação 2x-y+z=6:
2x-3+(6-x)=6 \quad\Rightarrow\quad x+3=6 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Logo x=3. Então z=6-x=3. Conclusão:
x=3,\qquad y=3,\qquad z=3.]

Passo 4

Construir a matriz A numérica substituindo x=y=z=3.
Calcular cada elemento usando os valores obtidos (peguei esses valores das expressões dos elementos da matriz original):
  • a_{11}=1.
  • a_{12}=x-y-z=3-3-3=-3.
  • a_{13}=3x-y+z=9-3+3=9.
  • a_{21}=2x-9=6-9=-3.
  • a_{22}=5.
  • a_{23}=2x-7=6-7=-1.
  • a_{31}=x+y+3=3+3+3=9.
  • a_{32}=y-z-1=3-3-1=-1.
  • a_{33}=7.
Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 9\\[4pt] -3 & 5 & -1\\[4pt] 9 & -1 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Usar propriedades de determinante para simplificar o que se pede.
Propriedades importantes (vou explicar de um jeito direto):
  • Para qualquer matriz quadrada M vale \det(M^{t})=\det(M). Ou seja, transpor não muda o determinante.
  • Para qualquer matriz invertível M vale \det(M^{-1})=\dfrac{1}{\det(M)}. Ou seja, o determinante do inverso é o inverso do determinante.
Aplicando essas propriedades a \operatorname{det}\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}:
\operatorname{det}\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}=\det\bigl((A^{t})^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(A^{t})}=\frac{1}{\det(A)}.
Portanto basta calcular \det(A) e depois tomar seu inverso multiplicativo.

Passo 6

Calcular \det(A). Vou usar a regra de Sarrus (método prático para matrizes 3\times3) e mostrar os produtos explicitamente.
Para
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 9\\[4pt] -3 & 5 & -1\\[4pt] 9 & -1 & 7 \end{pmatrix},
a soma dos produtos das diagonais principais (descendo para a direita) é
1\cdot5\cdot7 + (-3)\cdot(-1)\cdot9 + 9\cdot(-3)\cdot(-1) = 35 + 27 + 27 = 89.
A soma dos produtos das diagonais secundárias (descendo para a esquerda) é
9\cdot5\cdot9 + 1\cdot(-1)\cdot(-1) + (-3)\cdot(-3)\cdot7 = 405 + 1 + 63 = 469.
A regra de Sarrus diz que
\det(A)=\text{(soma diagonais principais)}-\text{(soma diagonais secundárias)} = 89-469 = -380.á
Logo \det(A)=-380.]

Passo 7

Finalmente, pelo que foi mostrado no Passo 5,
\operatorname{det}\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}=\frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{-380}=-\frac{1}{380}.

Resposta

-\dfrac{1}{380}

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