Resolva os problemas abaixo:
num ônibus lotado, estão duas pessoas sentadas em cada banco e há 12 passageiros de pé. Quantas pessoas leva o ônibus, sabendo-se que sentando três pessoas em cada banco não restaria ninguém de pé e ainda ficariam dois bancos vagos?
num ônibus lotado, estão duas pessoas sentadas em cada banco e há 12 passageiros de pé. Quantas pessoas leva o ônibus, sabendo-se que sentando três pessoas em cada banco não restaria ninguém de pé e ainda ficariam dois bancos vagos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Sentadas, cabem duas pessoas em cada banco e, nessas condições, há doze pessoas em pé.
- Se sentassem três pessoas em cada banco, não sobraria ninguém em pé e ainda ficariam dois bancos vagos.
A pergunta é: quantas pessoas o ônibus leva (ou seja, qual é o total de passageiros)?
Passo 2
Vamos identificar as quantidades desconhecidas com variáveis (isso ajuda a transformar as frases em equações):
- Seja
o número total de bancos do ônibus. - Seja
o número total de pessoas (passageiros) no ônibus.
Aquie são inteiros positivos.
Passo 3
Traduzindo a primeira situação (duas pessoas por banco e doze em pé) em equação:
- Se houver
bancos e sentam-se pessoas em cada banco, o número de pessoas sentadas é . - Além disso há
pessoas em pé.
Portanto o total de pessoasé
Passo 4
Traduzindo a segunda situação (três pessoas por banco, ninguém em pé e dois bancos vagos) em equação:
- Se dois bancos ficam vagos, o número de bancos ocupados é
. - Em cada um desses
bancos sentam-se pessoas, então o total de pessoas é .
Como isso descreve o mesmo total, temos
Passo 5
Como ambas as expressões representam o mesmo total
, podemos igualá-las para obter uma equação só em
:
Passo 6
Agora resolvemos a equação passo a passo.
Primeiro expandir o lado direito:
Primeiro expandir o lado direito:
Isolar os termos com
num lado e os números no outro. Subtrai-se
de ambos os lados:
Agora somar
em ambos os lados:
Portanto o número de bancos é
.
Passo 7
Com
, calculamos o número total de pessoas
usando uma das fórmulas. Usando
:
Passo 8
Verificação rápida com a outra fórmula:
.
Calculando:
Calculando:
As duas formas dão o mesmo resultado, então está consistente.
Passo 9
Interpretação final rápida: com
bancos, se sentarem
por banco há
sentados e
em pé, total
. Se acomodarem
por banco, usam-se
bancos (dois vagos) e
pessoas, sem ninguém em pé — bate certinho.