Questão 53. Quantas saladas contendo 4 frutas podemos formar se dispomos de 9 frutas diferentes?
Passo 1
O enunciado pede: quantas saladas contendo
frutas podemos formar quando dispomos de
frutas diferentes?
Informações importantes do enunciado:
Informações importantes do enunciado:
- Há
frutas distintas (cada fruta é distinta das outras). - Cada salada tem exatamente
frutas. - A ordem das frutas NA SALADA não importa (ou seja, a salada com frutas A, B, C, D é a mesma que D, C, B, A).
- Não se permite repetir a mesma fruta mais de uma vez na mesma salada (escolha sem reposição).
Passo 2
Ideia inicial (contagem com ordem): se a ordem importasse, o número de formas de escolher e ordenar
frutas dentre
seria o produto
Isso conta sequências ordenadas de
frutas (chamadas permutações parciais). Vamos calcular esse valor apenas para ter uma referência:
Passo 3
Por que dividir por
? Cada seleção de
frutas corresponde a muitas sequências ordenadas: exatamente
sequências (porque as
frutas escolhidas podem ser arranjadas entre si de
maneiras). Como a ordem não importa para a salada, devemos eliminar essas repetições dividindo:
Passo 4
Fórmula compacta (combinação): isso é exatamente o coeficiente binomial
onde:
-
significa (fatorial), -
é o total de elementos disponíveis, -
é o número de elementos a escolher, -
é o número de maneiras de escolher elementos dentre quando a ordem não importa.
No nosso caso,
e
, então
Passo 5
Cálculo passo a passo usando a forma prática:
Faço cancelamentos para evitar números grandes:
- dividir
por dá ; - dividir
por dá ; - dividir esse
resultante pela fator do denominador dá .
Depois desses cancelamentos sobra
Passo 6
Verificação rápida: como
pela simetria dos binomiais, poderia calcular também escolher
frutas para não escolher as
restantes; ambos dão o mesmo resultado
. Um exemplo concreto: se as frutas fossem
, cada subconjunto de
letras conta como uma única salada, independentemente da ordem.