Questão 53. Quantas saladas contendo 4 frutas podemos formar se dispomos de 9 frutas diferentes?

Passo 1

O enunciado pede: quantas saladas contendo \,4\, frutas podemos formar quando dispomos de \,9\, frutas diferentes?
Informações importantes do enunciado:
  • \,9\, frutas distintas (cada fruta é distinta das outras).
  • Cada salada tem exatamente \,4\, frutas.
  • A ordem das frutas NA SALADA não importa (ou seja, a salada com frutas A, B, C, D é a mesma que D, C, B, A).
  • Não se permite repetir a mesma fruta mais de uma vez na mesma salada (escolha sem reposição).

Passo 2

Ideia inicial (contagem com ordem): se a ordem importasse, o número de formas de escolher e ordenar \,4\, frutas dentre \,9\, seria o produto
9\cdot 8\cdot 7\cdot 6.
Isso conta sequências ordenadas de \,4\, frutas (chamadas permutações parciais). Vamos calcular esse valor apenas para ter uma referência:
9\cdot 8\cdot 7\cdot 6 = 3024.

Passo 3

Por que dividir por \,4!? Cada seleção de \,4\, frutas corresponde a muitas sequências ordenadas: exatamente \,4!\, sequências (porque as \,4\, frutas escolhidas podem ser arranjadas entre si de \,4! maneiras). Como a ordem não importa para a salada, devemos eliminar essas repetições dividindo:
\text{nº de saladas}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4!}.º

Passo 4

Fórmula compacta (combinação): isso é exatamente o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde:
  • n! significa n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1 (fatorial),
  • n é o total de elementos disponíveis,
  • k é o número de elementos a escolher,
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos dentre n quando a ordem não importa.
No nosso caso, n=9 e k=4, então
\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!\,5!}.

Passo 5

Cálculo passo a passo usando a forma prática:
\binom{9}{4}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.
Faço cancelamentos para evitar números grandes:
  • dividir 8 por 4 2;
  • dividir 6 por 3 2;
  • dividir esse 2 resultante pela fator 2 do denominador dá 1.
Depois desses cancelamentos sobra
9\cdot 1\cdot 7\cdot 2 = 9\cdot 7\cdot 2 = 63\cdot 2 = 126.

Passo 6

Verificação rápida: como \binom{9}{4}=\binom{9}{5} pela simetria dos binomiais, poderia calcular também escolher \,5\, frutas para não escolher as \,4\, restantes; ambos dão o mesmo resultado \,126\,. Um exemplo concreto: se as frutas fossem \{A,B,C,D,E,F,G,H,I\}, cada subconjunto de \,4\, letras conta como uma única salada, independentemente da ordem.

Resposta

126

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