Questão 3 (OBMEP-adaptada). Qual o algarismo das unidades de da soma
?
Passo 1
O enunciado pede: qual o algarismo das unidades da soma
?\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A soma é dos fatoriais de
até , ou seja .\n
Objetivo: encontrar apenas o algarismo das unidades (o dígito das unidades) dessa soma.
Passo 2
Lembrando a definição de fatoral e calculando os primeiros termos (para entender o padrão):\n
- Por definição, para
inteiro positivo, .\n
Vamos calcular os primeiros fatoriais:
Aqui já dá para ver os algarismos das unidades:
têm unidades
respectivamente, e
tem unidade
.
Passo 3
Explicação didática por que todo
com
tem algarismo das unidades igual a
:\n
- Para um número terminar em zero, ele precisa ser múltiplo de
. -
é . No produto , quando já aparecem tanto o fator quanto o fator entre os multiplicandos (por exemplo, e aparecem explicitamente). - Assim existe pelo menos um par
como fator de , logo é múltiplo de e termina em .\n
Portanto, para todovale que o algarismo das unidades de é . Exemplo concreto: , , etc.
Passo 4
Conseqência para a soma: os termos de
até
têm unidades
. Então, ao somar todos, eles não alteram o algarismo das unidades da soma total. Logo basta somar apenas os primeiros quatro fatoriais para saber o algarismo das unidades de
.
Passo 5
Calcular a soma dos primeiros quatro fatoriais e extrair o algarismo das unidades:\n
O algarismo das unidades de
é
.
Passo 6
Conclusão final (interpretando o que fizemos como um truque útil para prova): a soma inteira
tem o mesmo algarismo das unidades que
, ou seja
. Vai com calma na prova: sempre cheque quando fatores
e
aparecem — eles geram zeros nas unidades.