Questão 3 (OBMEP-adaptada). Qual o algarismo das unidades de da soma \sum_{k=1}^{2020} k! ?

Passo 1

O enunciado pede: qual o algarismo das unidades da soma \sum_{k=1}^{2020} k! ?\n
Informações dadas:
  • A soma é dos fatoriais de 1 até 2020, ou seja \sum_{k=1}^{2020} k! = 1! + 2! + 3! + \dots + 2020!.\n
    Objetivo: encontrar apenas o algarismo das unidades (o dígito das unidades) dessa soma.

Passo 2

Lembrando a definição de fatoral e calculando os primeiros termos (para entender o padrão):\n
  • Por definição, para n inteiro positivo, n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.\n
    Vamos calcular os primeiros fatoriais:
1! = 1, \qquad 2! = 1\cdot 2 = 2, \qquad 3! = 1\cdot 2\cdot 3 = 6, \qquad 4! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 24, \qquad 5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120.
Aqui já dá para ver os algarismos das unidades: 1!,2!,3!,4! têm unidades 1,2,6,4 respectivamente, e 5! tem unidade 0.

Passo 3

Explicação didática por que todo n! com n\ge 5 tem algarismo das unidades igual a 0:\n
  • Para um número terminar em zero, ele precisa ser múltiplo de 10.
  • 10 é 2\cdot 5. No produto n! = 1\cdot 2\cdot \dots \cdot n, quando n\ge 5 já aparecem tanto o fator 2 quanto o fator 5 entre os multiplicandos (por exemplo, 2 e 5 aparecem explicitamente).
  • Assim existe pelo menos um par 2\cdot 5 = 10 como fator de n!, logo n! é múltiplo de 10 e termina em 0.\n
    Portanto, para todo n\ge 5 vale que o algarismo das unidades de n! é 0. Exemplo concreto: 5! = 120, 6! = 720, etc.

Passo 4

Conseqência para a soma: os termos de 5! até 2020! têm unidades 0. Então, ao somar todos, eles não alteram o algarismo das unidades da soma total. Logo basta somar apenas os primeiros quatro fatoriais para saber o algarismo das unidades de \sum_{k=1}^{2020} k!.

Passo 5

Calcular a soma dos primeiros quatro fatoriais e extrair o algarismo das unidades:\n
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33.
O algarismo das unidades de 33 é 3.

Passo 6

Conclusão final (interpretando o que fizemos como um truque útil para prova): a soma inteira \sum_{k=1}^{2020} k! tem o mesmo algarismo das unidades que 1!+2!+3!+4!, ou seja 3. Vai com calma na prova: sempre cheque quando fatores 2 e 5 aparecem — eles geram zeros nas unidades.

Resposta

3

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