Questão 6. Simplifique as expressões:
6 \cdot 6!+7 \cdot 7!+8 \cdot 8!+\ldots+37 \cdot 37!.

Passo 1

O que o problema pede: simplificar a soma
6\cdot 6! + 7\cdot 7! + 8\cdot 8! + \ldots + 37\cdot 37!.
Informações dadas:
  • A soma vai dos termos com coeficientes inteiros consecutivos de 6 até 37.
  • Cada termo tem a forma k\cdot k! para k=6,7,\dots,37.
    O objetivo é transformar essa soma numa expressão mais simples (uma forma fechada).

Passo 2

Lembrete rápido e útil sobre fatorial (aquelas aulas que parecem chatas, mas salvam a prova):
  • Definição: para inteiro n\ge1, n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1. Ex.: 4!=24, 5!=120.
  • Propriedade que vamos usar: (n+1)! = (n+1)\cdot n!.
Agora uma identidade chave que facilita tudo. Tomando (k+1)! e subtraindo k!:
(k+1)! - k! = (k+1)\cdot k! - k! = \bigl((k+1)-1\bigr)k! = k\cdot k!.
Ou seja, para qualquer inteiro k\ge1 vale
k\cdot k! = (k+1)! - k!.
Essa identidade é a mágica: ela permite transformar cada termo k\cdot k! numa diferença de fatoriais, o que costuma gerar cancelamentos (soma telescópica).

Passo 3

Reescrevendo cada termo da soma usando a identidade:
\sum_{k=6}^{37} k\cdot k! = \sum_{k=6}^{37} \bigl((k+1)! - k!\bigr).
Escrevendo os primeiros e últimos termos para ver o padrão:
(7! - 6!) + (8! - 7!) + (9! - 8!) + \cdots + (38! - 37!).

Passo 4

Observe o cancelamento telescópico: no somatório acima, 7! aparece com sinal + e depois com -, o mesmo para 8!,9!,\dots,37!. Tudo isso se cancela pairwise. O que sobra são apenas os extremos:
\sum_{k=6}^{37} \bigl((k+1)! - k!\bigr) = 38! - 6!.
Portanto a soma inicial simplifica exatamente para 38! - 6!.

Passo 5

Podemos também factorizar 6!, se quiser uma forma alternativa:
38! - 6! = 6!\bigl(7\cdot 8 \cdots 38 - 1\bigr),
pois 38! = 6!\cdot(7\cdot 8\cdots 38). Mas a forma mais curta e elegante é 38! - 6!.

Resposta

38! - 6!

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