Questão 6. Simplifique as expressões:
.
Passo 1
O que o problema pede: simplificar a soma
Informações dadas:
- A soma vai dos termos com coeficientes inteiros consecutivos de
até . - Cada termo tem a forma
para .
O objetivo é transformar essa soma numa expressão mais simples (uma forma fechada).
Passo 2
Lembrete rápido e útil sobre fatorial (aquelas aulas que parecem chatas, mas salvam a prova):
- Definição: para inteiro
, . Ex.: , . - Propriedade que vamos usar:
.
Agora uma identidade chave que facilita tudo. Tomando
e subtraindo
:
Ou seja, para qualquer inteiro
vale
Essa identidade é a mágica: ela permite transformar cada termo
numa diferença de fatoriais, o que costuma gerar cancelamentos (soma telescópica).
Passo 3
Reescrevendo cada termo da soma usando a identidade:
Escrevendo os primeiros e últimos termos para ver o padrão:
Passo 4
Observe o cancelamento telescópico: no somatório acima,
aparece com sinal
e depois com
, o mesmo para
. Tudo isso se cancela pairwise. O que sobra são apenas os extremos:
Portanto a soma inicial simplifica exatamente para
.
Passo 5
Podemos também factorizar
, se quiser uma forma alternativa:
pois
. Mas a forma mais curta e elegante é
.