Questão 2 (OCM-1997-modificada). A soma S=\frac{2}{1!9!}+\frac{2}{3!7!}+\frac{1}{5!5!} pode ser escrita na forma \frac{2^{a}}{b!} onde a e b são números inteiros positivos. Encontre a e b.

Passo 1

O enunciado dá a soma
S=\frac{2}{1!9!}+\frac{2}{3!7!}+\frac{1}{5!5!}
e pede para escrevê‑la na forma \dfrac{2^{a}}{b!}, encontrando os inteiros positivos a e b.
Informações relevantes: os denominadores são produtos de dois fatoriais cuja soma dos índices é sempre 10 (por exemplo 1+9=10, 3+7=10, 5+5=10). O objetivo é manipular esses termos para obter uma única fração com denominador um fatorial.

Passo 2

Vou usar a definição de coeficiente binomial. Para inteiros n e k com 0\le k\le n vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! é o fatorial de n (produto de 1 até n), k! é o fatorial de k e n-k é o complemento. Essa fórmula relaciona produtos do tipo k!(n-k)! com um único n!. No nosso caso n=10 é natural porque cada soma de índices é 10.

Passo 3

Usando a identidade anterior com n=10 obtemos, por exemplo,
\frac{1}{1!9!}=\frac{\binom{10}{1}}{10!},\qquad \frac{1}{3!7!}=\frac{\binom{10}{3}}{10!},\qquad \frac{1}{5!5!}=\frac{\binom{10}{5}}{10!}.
Portanto podemos escrever S com denominador 10!:
S=\frac{2\binom{10}{1}+2\binom{10}{3}+\binom{10}{5}}{10!}.

Passo 4

Agora calculo os coeficientes binomiais um a um, mostrando as contas:
\binom{10}{1}=10.
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120.
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{30240}{120}=252.

Passo 5

Substituindo esses valores em S e fazendo as multiplicações:
S=\frac{2\cdot10+2\cdot120+252}{10!}=\frac{20+240+252}{10!}=\frac{512}{10!}.

Passo 6

Reconheço que 512 é uma potência de 2:
512=2^{9}.
Assim
S=\frac{2^{9}}{10!}.
Portanto os inteiros pedidos são a=9 e b=10.

Resposta

a=9
b=10

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