Questão 2 (OCM-1997-modificada). A soma
pode ser escrita na forma
onde
e
são números inteiros positivos. Encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a soma
e pede para escrevê‑la na forma
, encontrando os inteiros positivos
e
.
Informações relevantes: os denominadores são produtos de dois fatoriais cuja soma dos índices é sempre (por exemplo
,
,
). O objetivo é manipular esses termos para obter uma única fração com denominador um fatorial.
Informações relevantes: os denominadores são produtos de dois fatoriais cuja soma dos índices é sempre
Passo 2
Vou usar a definição de coeficiente binomial. Para inteiros
e
com
vale
Aqui
é o fatorial de
(produto de
até
),
é o fatorial de
e
é o complemento. Essa fórmula relaciona produtos do tipo
com um único
. No nosso caso
é natural porque cada soma de índices é
.
Passo 3
Usando a identidade anterior com
obtemos, por exemplo,
Portanto podemos escrever
com denominador
:
Passo 4
Agora calculo os coeficientes binomiais um a um, mostrando as contas:
Passo 5
Substituindo esses valores em
e fazendo as multiplicações:
Passo 6
Reconheço que
é uma potência de
:
Assim
Portanto os inteiros pedidos são
e
.