Resolva os problemas abaixo:
se hoje eu tenho o dobro da idade que tú tinhas quando eu tinha a idade que tú tens. Quando tú tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será 90 anos. Qual a idade atual de cada um de nós dois?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • O enunciado pergunta: qual é a idade atual de cada um (eu e tu)?
  • Informações fornecidas:
    • “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens.” (uma relação entre idades passadas e presentes).
    • “Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será 90 anos.” (uma relação envolvendo idades futuras e soma igual a 90).

Passo 2

Definir variáveis e interpretar corretamente as expressões temporais (isto é crucial em problemas de idade).
  • Seja \;m\; a minha idade atual (mesmo quem fala “eu”).
  • Seja \;y\; a tua idade atual.
  • A diferença de idades é \;m-y\;. Esse número pode ser visto como “há \;m-y\; anos” no passado ou “daqui a \;m-y\; anos” no futuro, dependendo do contexto da frase.
Agora interpretar exatamente cada frase do enunciado em termos de \;m\; e \;y\;.

Passo 3

Traduzir a primeira frase para uma equação. Vamos entender passo a passo:
  • “Quando eu tinha a idade que tu tens” significa: isso aconteceu \;m-y\; anos atrás (porque minha idade atual \;m\; menos \;m-y\; anos é \;m-(m-y)=y, que é a tua idade atual).
  • Nessa época (há \;m-y\; anos), a tua idade era \;y-(m-y). Calculemos isso: y-(m-y)=y-m+y=2y-m.Portanto, “tu tinhas” naquela época a idade \;2y-m\;.
  • A frase diz: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas naquela época.” Em equação: m = 2(2y-m).
  • Desenvolvendo a direita: m = 4y - 2m.
  • Juntando termos semelhantes (somando 2m aos dois lados): 3m = 4y.Esta é a primeira equação que relaciona \;m\; e \;y\;.

Passo 4

Traduzir a segunda frase para uma equação.
  • “Quando tu tiveres a idade que eu tenho” significa: isso ocorrerá daqui a \;m-y\; anos (porque tua idade daqui a \;m-y\; anos será y+(m-y)=m).
  • Nessa época futura, tu terás \;m\; anos e eu terei \;m+(m-y)=2m-y\; anos.
  • A soma das idades nessa ocasião é dada como \;90. Portanto: m + (2m - y) = 90.
  • Simplificando a soma: 3m - y = 90.Esta é a segunda equação.

Passo 5

Resolver o sistema de duas equações lineares:
\begin{cases} 3m = 4y,\\[4pt] 3m - y = 90. \end{cases}
Usamos substituição: da primeira equação, expressamos \;y\; em função de \;m\;:
y = \frac{3}{4}m.
Substituímos em \;3m - y = 90:
3m - \frac{3}{4}m = 90.
Agora calculamos o lado esquerdo passo a passo:
  • Colocar em denominador comum \;4: 3m = \frac{12}{4}m,então \frac{12}{4}m - \frac{3}{4}m = \frac{9}{4}m.
  • Logo \frac{9}{4}m = 90.
  • Para isolar \;m\;, multiplicar ambos os lados por \;\dfrac{4}{9}\;: m = 90\cdot\frac{4}{9}.
  • Calcule: 90\cdot\frac{4}{9}=10\cdot4=40.Portanto \;m=40 (minha idade atual).]

Passo 6

Encontrar \;y\; usando \;y=\dfrac{3}{4}m.
  • Substituindo \;m=40: y=\frac{3}{4}\cdot 40 = 3\cdot 10 = 30.Portanto \;y=30 (tua idade atual).

Passo 7

Verificação das condições para garantir que não houve erro:
  • Primeira condição:
    • Quando eu tinha a tua idade (isto é, quando eu tinha 30), isso foi há 40-30=10 anos. Nessa época tu tinhas 30-10=20. Hoje eu tenho 40, que é o dobro de 20. OK.
  • Segunda condição:
    • Quando tu tiveres minha idade ( m=40), será daqui a 10 anos; tu terás 40 e eu terei 50. A soma será 40+50=90. OK.
Ótimo — tudo confere. Força aí, já era o bicho!

Resposta

Eu: 40 anos
Tu: 30 anos

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