Resolva os problemas abaixo:
se hoje eu tenho o dobro da idade que tú tinhas quando eu tinha a idade que tú tens. Quando tú tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será 90 anos. Qual a idade atual de cada um de nós dois?
se hoje eu tenho o dobro da idade que tú tinhas quando eu tinha a idade que tú tens. Quando tú tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será 90 anos. Qual a idade atual de cada um de nós dois?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- O enunciado pergunta: qual é a idade atual de cada um (eu e tu)?
- Informações fornecidas:
- “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens.” (uma relação entre idades passadas e presentes).
- “Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será 90 anos.” (uma relação envolvendo idades futuras e soma igual a 90).
Passo 2
Definir variáveis e interpretar corretamente as expressões temporais (isto é crucial em problemas de idade).
- Seja
a minha idade atual (mesmo quem fala “eu”). - Seja
a tua idade atual. - A diferença de idades é
. Esse número pode ser visto como “há anos” no passado ou “daqui a anos” no futuro, dependendo do contexto da frase.
Agora interpretar exatamente cada frase do enunciado em termos de
e
.
Passo 3
Traduzir a primeira frase para uma equação. Vamos entender passo a passo:
- “Quando eu tinha a idade que tu tens” significa: isso aconteceu
anos atrás (porque minha idade atual menos anos é , que é a tua idade atual). - Nessa época (há
anos), a tua idade era . Calculemos isso: Portanto, “tu tinhas” naquela época a idade . - A frase diz: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas naquela época.” Em equação:
- Desenvolvendo a direita:
- Juntando termos semelhantes (somando
aos dois lados): Esta é a primeira equação que relaciona e .
Passo 4
Traduzir a segunda frase para uma equação.
- “Quando tu tiveres a idade que eu tenho” significa: isso ocorrerá daqui a
anos (porque tua idade daqui a anos será ). - Nessa época futura, tu terás
anos e eu terei anos. - A soma das idades nessa ocasião é dada como
. Portanto: - Simplificando a soma:
Esta é a segunda equação.
Passo 5
Resolver o sistema de duas equações lineares:
Usamos substituição: da primeira equação, expressamos
em função de
:
Substituímos em
:
Agora calculamos o lado esquerdo passo a passo:
- Colocar em denominador comum
: então - Logo
- Para isolar
, multiplicar ambos os lados por : - Calcule:
Portanto (minha idade atual).]
Passo 6
Encontrar
usando
.
- Substituindo
: Portanto (tua idade atual).
Passo 7
Verificação das condições para garantir que não houve erro:
- Primeira condição:
- Quando eu tinha a tua idade (isto é, quando eu tinha
), isso foi há anos. Nessa época tu tinhas . Hoje eu tenho , que é o dobro de . OK.
- Quando eu tinha a tua idade (isto é, quando eu tinha
- Segunda condição:
- Quando tu tiveres minha idade (
), será daqui a anos; tu terás e eu terei . A soma será . OK.
- Quando tu tiveres minha idade (
Ótimo — tudo confere. Força aí, já era o bicho!
Resposta
Eu:
anos
Tu: anos
Tu: