Questão 57 (CESGRANRIO / BB-2010). Um investimento obteve variação nominal de
ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi
. A taxa de juros real anual para esse investimento foi ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação 1: a variação nominal do investimento foi de
ao ano. - Informação 2: a taxa de inflação no mesmo período foi de
ao ano. - Pergunta: qual é a taxa de juros real anual para esse investimento?
Passo 2
Vamos entender o que cada coisa significa e montar a fórmula que precisamos usar (sem complicar demais).
- A taxa nominal é o quanto o seu montante em dinheiro cresce em termos nominais, isto é, sem descontar a inflação. Se você investe
(ou reais), ao final do ano terá multiplicado esse valor por , onde é a taxa nominal. Aqui (ou ), então o fator nominal é . - A inflação é quanto os preços subiram; se o nível de preços aumenta por um fator
com (ou ), o poder de compra do dinheiro é dividido por esse fator. - A taxa real
é a variação do poder de compra do seu investimento. Para achar pensamos assim: o fator real é o fator nominal dividido pelo fator de inflação. Em fórmula:
Essa fórmula vem da ideia direta: dinheiro nominalmente vira
vezes mais; preços viram
vezes mais; logo o aumento do poder de compra é a razão entre esses fatores.
Passo 3
Agora aplicamos os números que o enunciado deu. Primeiro escrevemos os valores em forma decimal (use vírgula para decimais como no enunciado):
-
(porque ) -
(porque )
Substituindo na fórmula:
Uma forma muito didática de ver isso é com um exemplo concreto: comece com
reais. Ao final do ano, nominalmente você tem
reais. Os preços subiram em
, então o que valia
reais no começo agora custa
reais. Em termos de poder de compra, seus
reais compram o que antes custava
reais. Calculando:
Ou seja, o poder de compra cresceu de
para
, um aumento de
.
Passo 4
Voltando à fração
podemos simplificar por inspeção:
. Logo
Assim
o que em porcentagem é
.
Observação prática: existe uma aproximação muito usada
. Se fizermos
obtemos uma aproximação que aqui daria
, mas o valor exato (usando a razão dos fatores) é
. A diferença aparece porque a aproximação
ignora o efeito de composição e só é boa quando as taxas são pequenas.