Questão 57 (CESGRANRIO / BB-2010). Um investimento obteve variação nominal de 15,5 \% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5 \%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação 1: a variação nominal do investimento foi de 15,5\% ao ano.
  • Informação 2: a taxa de inflação no mesmo período foi de 5\% ao ano.
  • Pergunta: qual é a taxa de juros real anual para esse investimento?

Passo 2

Vamos entender o que cada coisa significa e montar a fórmula que precisamos usar (sem complicar demais).
  • A taxa nominal é o quanto o seu montante em dinheiro cresce em termos nominais, isto é, sem descontar a inflação. Se você investe 1 (ou 100 reais), ao final do ano terá multiplicado esse valor por 1+i, onde i é a taxa nominal. Aqui i=0,155 (ou 15,5\%), então o fator nominal é 1+i.
  • A inflação é quanto os preços subiram; se o nível de preços aumenta por um fator 1+\pi com \pi=0,05 (ou 5\%), o poder de compra do dinheiro é dividido por esse fator.
  • A taxa real r é a variação do poder de compra do seu investimento. Para achar r pensamos assim: o fator real é o fator nominal dividido pelo fator de inflação. Em fórmula:
1+r=\frac{1+i}{1+\pi}.
Essa fórmula vem da ideia direta: dinheiro nominalmente vira 1+i vezes mais; preços viram 1+\pi vezes mais; logo o aumento do poder de compra é a razão entre esses fatores.

Passo 3

Agora aplicamos os números que o enunciado deu. Primeiro escrevemos os valores em forma decimal (use vírgula para decimais como no enunciado):
  • i=0,155 (porque 15,5\%=0,155)
  • \pi=0,05 (porque 5\%=0,05)
Substituindo na fórmula:
1+r=\frac{1+0,155}{1+0,05}=\frac{1,155}{1,05}.
Uma forma muito didática de ver isso é com um exemplo concreto: comece com 100 reais. Ao final do ano, nominalmente você tem 100\times 1,155=115{,}5 reais. Os preços subiram em 5\%, então o que valia 100 reais no começo agora custa 100\times 1,05=105 reais. Em termos de poder de compra, seus 115{,}5 reais compram o que antes custava 115{,}5/1,05 reais. Calculando:
\frac{115{,}5}{1,05}=110.
Ou seja, o poder de compra cresceu de 100 para 110, um aumento de 10\%.

Passo 4

Voltando à fração \dfrac{1,155}{1,05} podemos simplificar por inspeção: 1{,}05\times 1{,}1=1{,}155. Logo
1+r=1{,}1.
Assim
r=1{,}1-1=0{,}1,
o que em porcentagem é 10\%.
Observação prática: existe uma aproximação muito usada r\approx i-\pi. Se fizermos 15{,}5\%-5\%=10{,}5\% obtemos uma aproximação que aqui daria 10{,}5\%, mas o valor exato (usando a razão dos fatores) é 10\%. A diferença aparece porque a aproximação i-\pi ignora o efeito de composição e só é boa quando as taxas são pequenas.

Resposta

10\%

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