Resolva os problemas abaixo:
Um trem tem 11 carruagens de passageiros e a cada três carruagens consecutivas existem sempre 99 passageiros. Se existem 381 passageiros no total, quantos passageiros há na carruagem 9 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 11 carruagens, numeradas de 1 a 11.
  • A cada três carruagens consecutivas há sempre 99 passageiros. Ou seja, para cada i=1,2,\dots,9 vale
a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 99,
onde a_i é o número de passageiros na carruagem i.
  • O total de passageiros é 381, isto é,
\sum_{i=1}^{11} a_i = 381.
O que o problema pede: determinar o número de passageiros na carruagem 9, ou seja, a_9.

Passo 2

Vamos escrever as equações essenciais e observar uma propriedade útil. Para i=1,\dots,9 temos
a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 99.
Observe duas equações consecutivas (para i e i+1):
a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 99,
a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} = 99.

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
(a_i + a_{i+1} + a_{i+2}) - (a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3}) = 0,
ou seja
a_i - a_{i+3} = 0.
Portanto, para todo i=1,\dots,8 vale
a_{i+3} = a_i.
Isto significa que a sequência (a_i) é periódica de período 3: os valores se repetem a cada três carruagens.

Passo 4

Pela periodicidade, os índices se agrupam em três classes congruentes módulo 3. Definimos:
x = a_1 = a_4 = a_7 = a_{10},
y = a_2 = a_5 = a_8 = a_{11},
z = a_3 = a_6 = a_9.
Contagem: x aparece 4 vezes, y aparece 4 vezes e z aparece 3 vezes entre as 11 carruagens. A condição da soma de três consecutivas dá
x + y + z = 99.
A condição do total dá
4x + 4y + 3z = 381.

Passo 5

Vamos resolver o sistema formado por
\begin{cases} x + y + z = 99,\\[4pt] 4x + 4y + 3z = 381. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 3 obtemos
3x + 3y + 3z = 297.
Subtraindo essa equação da segunda:
(4x+4y+3z) - (3x+3y+3z) = x + y = 381 - 297 = 84.
Assim temos
x + y = 84.
Usando x+y+z=99 vem
z = 99 - (x+y) = 99 - 84 = 15.]

Passo 6

Lembrando que z = a_3 = a_6 = a_9, concluímos que o número de passageiros na carruagem 9 é z. Verificação rápida: com z=15 e x+y=84 todas as equações são satisfeitas (por exemplo, 4x+4y+3z = 4\cdot84 + 3\cdot15 = 336 + 45 = 381).

Resposta

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