Resolva os problemas abaixo:
Um trem tem 11 carruagens de passageiros e a cada três carruagens consecutivas existem sempre 99 passageiros. Se existem 381 passageiros no total, quantos passageiros há na carruagem 9 ?
Um trem tem 11 carruagens de passageiros e a cada três carruagens consecutivas existem sempre 99 passageiros. Se existem 381 passageiros no total, quantos passageiros há na carruagem 9 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
carruagens, numeradas de a . - A cada três carruagens consecutivas há sempre
passageiros. Ou seja, para cada vale
onde
é o número de passageiros na carruagem
.
- O total de passageiros é
, isto é,
O que o problema pede: determinar o número de passageiros na carruagem
, ou seja,
.
Passo 2
Vamos escrever as equações essenciais e observar uma propriedade útil. Para
temos
Observe duas equações consecutivas (para
e
):
Passo 3
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
ou seja
Portanto, para todo
vale
Isto significa que a sequência
é periódica de período
: os valores se repetem a cada três carruagens.
Passo 4
Pela periodicidade, os índices se agrupam em três classes congruentes módulo
. Definimos:
Contagem:
aparece
vezes,
aparece
vezes e
aparece
vezes entre as
carruagens. A condição da soma de três consecutivas dá
A condição do total dá
Passo 5
Vamos resolver o sistema formado por
Multiplicando a primeira equação por
obtemos
Subtraindo essa equação da segunda:
Assim temos
Usando
vem
Passo 6
Lembrando que
, concluímos que o número de passageiros na carruagem
é
. Verificação rápida: com
e
todas as equações são satisfeitas (por exemplo,
).