Resolva os problemas abaixo:
Um casal de namorados jantou em um fast-food de cozinha árabe três vezes em uma mesma semana.
  • Na primeira noite consumiram 2 quibes, 5 esfirras e 2 sucos, e pagaram R \ 11,00$.
  • Na segunda noite consumiram 3 quibes, 6 esfirras e 3 sucos, e pagaram R \ 15,30$.
  • Na terceira noite consumiram 2 quibes, 10 esfirras e 3 sucos e pagaram R \ 17,00$.
Qual é o preço unitário do quibe, da esfirra e do suco?

Passo 1

O enunciado dá três jantares com consumo e preços totais (peguei esses números do enunciado):
  • Primeira noite: consumiram 2 quibes, 5 esfirras e 2 sucos, total pago R\$\,11,00.
  • Segunda noite: consumiram 3 quibes, 6 esfirras e 3 sucos, total pago R\$\,15,30.
  • Terceira noite: consumiram 2 quibes, 10 esfirras e 3 sucos, total pago R\$\,17,00.
O que nos pedem: determinar o preço unitário do quibe, da esfirra e do suco.
Vou definir as incógnitas assim:
  • q = preço de um quibe (em reais),
  • e = preço de uma esfirra (em reais),
  • s = preço de um suco (em reais).

Passo 2

Traduzindo cada noite para uma equação linear (soma dos preços das unidades igual ao total pago), obtemos o sistema:
\begin{cases} 2q + 5e + 2s = R\$\,11,00,\\[4pt] 3q + 6e + 3s = R\$\,15,30,\\[4pt] 2q +10e + 3s = R\$\,17,00. \end{cases}
Esse é um sistema linear com três incógnitas. A estratégia mais simples aqui é o método da eliminação: combinar equações para eliminar uma incógnita e assim reduzir o sistema.]

Passo 3

Vou eliminar q usando as duas primeiras equações. Multiplico a primeira equação por 3 e a segunda por 2 (para igualar os coeficientes de q):
\text{(1)}\times 3: \quad 6q + 15e + 6s = R\$\,33,00,
\text{(2)}\times 2: \quad 6q + 12e + 6s = R\$\,30,60.
Subtraindo a segunda dessas duas (primeira menos segunda) elimina q e s (os termos em 6q e 6s se cancelam):
(6q+15e+6s) - (6q+12e+6s) = R\$\,33,00 - R\$\,30,60.
No lado esquerdo sobra 3e. No lado direito R\$\,33,00 - R\$\,30,60 = R\$\,2,40. Então
3e = R\$\,2,40.
Dividindo por 3,
e = R\$\,0,80.
Portanto o preço da esfirra é R\$\,0,80.

Passo 4

Agora substituo e = R\$\,0,80 na primeira equação para obter uma relação entre q e s:
2q + 5e + 2s = R\$\,11,00.
Calculo 5e = 5\cdot R\$\,0,80 = R\$\,4,00. Então
2q + R\$\,4,00 + 2s = R\$\,11,00.
Subtraindo R\$\,4,00 dos dois lados:
2q + 2s = R\$\,7,00.
Dividindo por 2:
q + s = R\$\,3,50.

Passo 5

Também substituo e = R\$\,0,80 na terceira equação para obter outra relação entre q e s:
2q + 10e + 3s = R\$\,17,00.
Calculo 10e = 10\cdot R\$\,0,80 = R\$\,8,00. Então
2q + R\$\,8,00 + 3s = R\$\,17,00.
Subtraindo R\$\,8,00 dos dois lados:
2q + 3s = R\$\,9,00.

Passo 6

Agora resolvo o sistema de duas equações em q\) e \(s\): \[\begin{cases} q + s = R\$\,3,50,\\[4pt] 2q + 3s = R\$\,9,00. \end{cases}
Multiplico a primeira por 2\] para facilitar eliminação: \[2q + 2s = R\$\,7,00.\] Subtraio essa equação da segunda: \[(2q+3s) - (2q+2s) = R\$\,9,00 - R\$\,7,00.\] No lado esquerdo sobra \(s. No direito sobra R\$\,2,00. Logo
s = R\$\,2,00.
E então, usando q + s = R\$\,3,50,
q = R\$\,3,50 - R\$\,2,00 = R\$\,1,50.]

Passo 7

Fazer uma checagem rápida substituindo q, e, s em qualquer equação (por exemplo a segunda):
3\cdot R\$\,1,50 + 6\cdot R\$\,0,80 + 3\cdot R\$\,2,00 = R\$\,4,50 + R\$\,4,80 + R\$\,6,00 = R\$\,15,30,
confere com o total dado. Portanto a solução está correta. Parabéns — já acabou essa parte chata!

Resposta

Quibe: R\$\,1,50
Esfirra: R\$\,0,80
Suco: R\$\,2,00

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