Questão 7.Dada a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(x+3 y, 2 x+3 y) .Considere B= \{(1,1),(-1,0)\}
(a)(2.0)pontos.Encontre P_{T}(\lambda)
(b)(1.5)pontos.Enconttre as raizes de P_{T}(\lambda) e apresente os autoespaços de T

Passo 1

O enunciado define a transformação linear \;T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}
por
T(x,y) = (\,x+3y,\;2x+3y\,).
Queremos achar o polinômio característico P_{T}(\lambda), suas raízes (os autovalores) e os autoespaços de T. Para isso, vamos representar T pela sua matriz na base canônica de \mathbb{R}^2 e usar a teoria de autovalores e autovetores.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\[6pt] 2 & 3 \end{pmatrix},
pois
T(1,0) = (1,2), \quad T(0,1) = (3,3).]

Passo 3

O polinômio característico P_{T}(\lambda) vem do determinante
P_{T}(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 3\\[4pt] 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Calculando,
P_{T}(\lambda) = (1-\lambda)(3-\lambda) \;-\; 2\cdot 3 = \lambda^{2} - 4\lambda - 3.]

Passo 4

Para encontrar as raízes, resolvemos
\lambda^{2} - 4\lambda - 3 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}.
Logo, os autovalores são
\lambda_{1} = 2 + \sqrt{7}, \quad \lambda_{2} = 2 - \sqrt{7}.

Passo 5

Para cada \lambda_{i}, achamos o autoespaço resolvendo
(A - \lambda_{i}I)\,(x,y)^{T} = (0,0)^{T}.
  1. Para \lambda_{1}=2+\sqrt{7},
\begin{pmatrix} 1-(2+\sqrt{7}) & 3\\[4pt] 2 & 3-(2+\sqrt{7}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; (-1-\sqrt{7})\,x + 3\,y = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{1+\sqrt{7}}{3}\,x.
Assim
E_{\,\lambda_{1}} = \bigl\{(x,\tfrac{1+\sqrt{7}}{3}x)\mid x\in\mathbb{R}\bigr\} = \mathrm{span}\{(3,\,1+\sqrt{7})\}.
  1. Para \lambda_{2}=2-\sqrt{7},
(-1+\sqrt{7})\,x +3\,y = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{1-\sqrt{7}}{3}\,x
e
E_{\,\lambda_{2}} = \mathrm{span}\{(3,\,1-\sqrt{7})\}.]

Resposta

(a)
P_{T}(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda - 3.
(b)
Os autovalores são
\lambda_{1} = 2 + \sqrt{7}, \quad \lambda_{2} = 2 - \sqrt{7}.
Os autoespaços correspondentes são
E_{\,2+\sqrt{7}} = \mathrm{span}\{(3,\,1+\sqrt{7})\}, \qquad E_{\,2-\sqrt{7}} = \mathrm{span}\{(3,\,1-\sqrt{7})\}.

Exercícios relacionados