Questão 7.Dada a aplicação
definida por
.Considere
.
(a)(2.0)pontos.Encontre
.
(b)(1.5)pontos.Enconttre as raizes de
e apresente os autoespaços de
.
(a)(2.0)pontos.Encontre
(b)(1.5)pontos.Enconttre as raizes de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
por
Queremos achar o polinômio característico
, suas raízes (os autovalores) e os autoespaços de
. Para isso, vamos representar
pela sua matriz na base canônica de
e usar a teoria de autovalores e autovetores.
Passo 2
Na base canônica
, a matriz de
é
pois
Passo 3
O polinômio característico
vem do determinante
Calculando,
Passo 4
Para encontrar as raízes, resolvemos
Pela fórmula de Bhaskara,
Logo, os autovalores são
Passo 5
Para cada
, achamos o autoespaço resolvendo
- Para
,
Assim
- Para
,
e
Resposta
(a)
(b)
Os autovalores são
Os autovalores são
Os autoespaços correspondentes são