Questão 5.(1.5pt) Dados O A=(4,-2,-3), O B=(5,-7,3), O C=(1, y, z), determine y e z para que C pertença à reta AB .

Passo 1

O problema dá os vetores posição de A, B e C e pede para achar os valores de y e z de modo que o ponto C caia na reta que passa por A e B. O conteúdo é reta em geometria vetorial, usando a forma paramétrica da reta: qualquer ponto da reta AB é dado por OA + t(OB-OA).

Passo 2

Vamos encontrar o vetor direção da reta AB: v = OB - OA.
v = (5,-7,3) - (4,-2,-3) = (1,-5,6)

Passo 3

Escrevemos a equação paramétrica da reta AB: r(t) = OA + tv. Em coordenadas isso dá:
x = 4 + t, y = -2 -5t, z = -3 +6t
Para que C (1,y,z) esteja na reta, igualamos as coordenadas: 4 + t = 1, -2 -5t = y e -3 +6t = z.

Passo 4

Da primeira equação 4 + t = 1 tiramos t = -3. Substituindo esse valor em y = -2 -5t e z = -3 +6t:
y = -2 -5(-3) = -2 +15 = 13
z = -3 +6(-3) = -3 -18 = -21

Resposta

y = 13, z = -21

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