Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadrticas de
.
(e)
(e)
Passo 1
Temos a forma quadrática em
Q(x_1,x_2)=4x_1x_2. O conteúdo é reduzir essa forma à forma diagonal (forma normal de Gauss), ou seja, encontrar uma mudança de base linear que elimine o termo misto.
Q(x_1,x_2)=4x_1x_2. O conteúdo é reduzir essa forma à forma diagonal (forma normal de Gauss), ou seja, encontrar uma mudança de base linear que elimine o termo misto.
Passo 2
Para entender melhor, podemos escrever
em notação matricial. A matriz simétrica associada
satisfaz
, logo
pois
Passo 3
Como não há termos quadrados puros (
) e existe apenas o termo misto, usamos completar o quadrado para diagonalizar. Observamos que
Passo 4
Definimos a mudança de variáveis
É fácil ver que essa é uma transformação linear inversível de
em
. Substituindo em
obtemos
Passo 5
Portanto, na base
a forma quadrática está em forma diagonal, com coeficientes
e
, sem termo misto.
Resposta
Na nova base
, a forma diagonalizada é
ou seja, matriz diagonal