Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadrticas de R^2.
(e) 4 x1 x2

Passo 1

Temos a forma quadrática em R^2
Q(x_1,x_2)=4x_1x_2. O conteúdo é reduzir essa forma à forma diagonal (forma normal de Gauss), ou seja, encontrar uma mudança de base linear que elimine o termo misto.

Passo 2

Para entender melhor, podemos escrever Q em notação matricial. A matriz simétrica associada A satisfaz Q(x)=x^T A x, logo
A=0 & 22 & 0,
pois
[x1;x2]0 & 22 & 0x1x2=4x1x2

Passo 3

Como não há termos quadrados puros ( A11=A22=0) e existe apenas o termo misto, usamos completar o quadrado para diagonalizar. Observamos que
(x1+x2)^2-(x1 - x2)^2 = (x1^2+2x1x2+x2^2)-(x1^2-2x1x2+x2^2)=4x1x2

Passo 4

Definimos a mudança de variáveis
y1 = x1 + x2, y2 = x1 - x2
É fácil ver que essa é uma transformação linear inversível de (x1,x2) em (y1,y2). Substituindo em Q obtemos
Q = (x1+x2)^2 - (x1 - x2)^2 = y1^2 - y2^2

Passo 5

Portanto, na base (y1,y2) a forma quadrática está em forma diagonal, com coeficientes +1 e -1, sem termo misto.

Resposta

Na nova base y1=x1+x2,;y2=x1-x2, a forma diagonalizada é
Q=y1^2 - y2^2,
ou seja, matriz diagonal diag(1,-1).

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