Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadrticas de R^2.
(d) 4 x1 x2+x2 ^2

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma diagonal, por congruência (Gauss/completar quadrados), a forma quadrática em R^2 dada por Q(x1,x2)=4x1x2+x2^2. Vamos usar conhecimentos de matrizes simétricas associadas a formas quadráticas e completar quadrados.

Passo 2

Associamos à forma quadrática a matriz simétrica A tal que Q(x)=x^T A x. Como Q(x)=4x1x2+x2^2 devemos ter 2a12=4 e a22=1, com a11=0. Logo:
A=0 & 2 2 & 1

Passo 3

Para diagonalizar por congruência, vamos completar o quadrado agrupando os termos em x2:
Q(x)=x2^2+4x1x2=(x2+2x1)^2-4x1^2

Passo 4

Definimos uma nova base (y1,y2) em que:
y1=x2+2x1,
y2=x1
Substituindo, obtemos a forma diagonal:
Q(y)=y1^2-4y2^2

Resposta

A forma diagonal obtida é y1^2-4y2^2.

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