Questão 2.
(1.5pt) Identifique, descreva os principais elementos, encontre equação reduzida do lugar geométrico do plano XY equidistante do ponto
e da reta
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(1.5pt) Identifique, descreva os principais elementos, encontre equação reduzida do lugar geométrico do plano XY equidistante do ponto
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos do plano XY que estão à mesma distância do ponto F(2,3) e da reta x = -6. O conteúdo aqui é definição de parábola por foco e diretriz. Vamos precisar da fórmula da distância ponto–ponto e da distância ponto–reta.
Passo 2
Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P até o foco F(2,3) é dada por
Já a distância de P até a reta x = -6 é
Passo 3
Pela definição de parábola temos PF = PD. Para eliminar a raiz e o valor absoluto, elevamos ao quadrado:
Passo 4
Agora expandimos e simplificamos:
Cancelando x^2 dos dois lados e agrupando termos:
Ou seja,
Passo 5
Para escrever na forma reduzida, completamos o quadrado em y e isolamos x:
Logo,
Portanto a equação reduzida fica
Resposta
A parábola tem foco F(2,3), diretriz x = -6, vértice V(-2,3), eixo paralelo a y = 3 e equação reduzida