Questão 2.
(1.5pt) Identifique, descreva os principais elementos, encontre equação reduzida do lugar geométrico do plano XY equidistante do ponto F(2,3) e da reta x=-6.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos do plano XY que estão à mesma distância do ponto F(2,3) e da reta x = -6. O conteúdo aqui é definição de parábola por foco e diretriz. Vamos precisar da fórmula da distância ponto–ponto e da distância ponto–reta.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P até o foco F(2,3) é dada por
PF = raiz(x - 2)^2 + (y - 3)^2
Já a distância de P até a reta x = -6 é
PD = |x - (-6)| = |x + 6|

Passo 3

Pela definição de parábola temos PF = PD. Para eliminar a raiz e o valor absoluto, elevamos ao quadrado:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x + 6)^2

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = x^2 + 12x + 36
Cancelando x^2 dos dois lados e agrupando termos:
y^2 - 6y + 4 + 9 - 12x - 36 - 4x = 0
Ou seja,
-16x + y^2 - 6y - 23 = 0

Passo 5

Para escrever na forma reduzida, completamos o quadrado em y e isolamos x:
y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2
Logo,
(y - 3)^2 - 9 - 23 = 16x
(y - 3)^2 - 32 = 16x
Portanto a equação reduzida fica
x + 2 = (y - 3)^216

Resposta

A parábola tem foco F(2,3), diretriz x = -6, vértice V(-2,3), eixo paralelo a y = 3 e equação reduzida
x + 2 = (y - 3)^216

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