Seja S um conjunto de geradores do espaço vetorial V, que está munido de um produto interno. Se os vetores u, v in V são tais que lang<= u, wrang<==lang<= v, wrang<= para qualquer w in S, prove que u=v.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial real V com produto interno, um conjunto gerador Ssubset V e dois vetores u,vin V tais que lang<= u,wrang<==lang<= v,wrang<= para todo win S. Vamos usar que S gera V, a linearidade do produto interno e a positividade definida para mostrar u=v.

Passo 2

Seja um vetor arbitrário xin V. Como S é conjunto de geradores, existem escalares alpha1,dots,alphan e vetores w1,dots,wnin S tais que
x = sumi=1^n alphai,wi

Passo 3

Pelo fato de o produto interno ser bilinear (linear em cada argumento) e pela hipótese lang<= u,wirang<==lang<= v,wirang<= temos
lang<= u,xrang<= = lang<= u, sumi=1^n alphai wirang<= = sumi=1^n alphai,lang<= u,wirang<= = sumi=1^n alphai,lang<= v,wirang<= = lang<= v, sumi=1^n alphai wirang<= = lang<= v,xrang<=

Passo 4

Defina d = u - v. Então, para todo xin V,
lang<= d,xrang<= = lang<= u-v,xrang<= = lang<= u,xrang<= - lang<= v,xrang<= = 0

Passo 5

Em particular, escolhendo x=d obtemos
lang<= d,drang<= = 0

Passo 6

Pela propriedade de positividade definida do produto interno, lang<= d,drang<==0 implica d=0. Logo u-v=0 e portanto u=v.

Resposta

u = v

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