Seja
um conjunto de geradores do espaço vetorial
, que está munido de um produto interno. Se os vetores
são tais que
para qualquer
, prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial real
com produto interno, um conjunto gerador
e dois vetores
tais que
para todo
. Vamos usar que
gera
, a linearidade do produto interno e a positividade definida para mostrar
.
Passo 2
Seja um vetor arbitrário
. Como
é conjunto de geradores, existem escalares
e vetores
tais que
Passo 3
Pelo fato de o produto interno ser bilinear (linear em cada argumento) e pela hipótese
temos
Passo 4
Defina
. Então, para todo
,
Passo 5
Em particular, escolhendo
obtemos
Passo 6
Pela propriedade de positividade definida do produto interno,
implica
. Logo
e portanto
.
Resposta
u = v