Questão 1.
(1.5pt) Encontre equações paramétricas da reta que é ortogonal ao plano 2 x-3 y-z=6 e que passa pelo ponto P(-1,-1,2). Encontre a distância entre o ponto P e tal plano.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta ortogonal ao plano 2x - 3y - z = 6 passando por P(-1,-1,2), e também calcular a distância desse ponto ao plano. Vamos usar vetor normal ao plano, equação paramétrica de reta e fórmula de distância ponto-plano.

Passo 2

O vetor normal do plano sai dos coeficientes de x,y,z. Como o plano é 2x - 3y - z = 6, temos n = (2,-3,-1). Esse vetor normal também serve como vetor diretor da reta ortogonal.

Passo 3

Usamos a forma paramétrica r(t) = r0 + t,d, onde r0 = P(-1,-1,2) e d = (2,-3,-1). Assim, obtemos:
x = -1 + 2t, y = -1 - 3t, z = 2 - t

Passo 4

Para calcular a distância de P ao plano, aplicamos a fórmula
d = l|a x0 + b y0 + c z0 - dr|raiza^2 + b^2 + c^2,
onde o plano é ax + by + cz = d e P=(x0,y0,z0). Aqui a=2, b=-3, c=-1, d=6 e P=(-1,-1,2).

Passo 5

Substituindo na fórmula:
|2(-1) + (-3)(-1) + (-1)(2) - 6| = |-2 + 3 - 2 - 6| = 7,
e
raiz2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = raiz14
Logo
d = 7raiz14 = raiz142

Resposta

Equações paramétricas: x = -1 + 2t,; y = -1 - 3t,; z = 2 - t. Distância: tfracraiz142.

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