Questão 1.
(1.5 pt) Encontre equação cartesiana do plano determinado pela reta x+1-2=y-32= z-13 e pelo ponto Q(1,4,-2).

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano que contém a reta dada por tfracx+1-2=tfracy-32=tfracz-13 e o ponto Q(1,4,-2). Isso envolve geometria vetorial: vamos usar que um plano pode ser definido por um ponto e um vetor normal, sendo esse normal o produto vetorial de dois vetores diretores do plano.

Passo 2

Primeiro vamos extrair da reta um ponto P0 e o vetor diretor v. Na forma paramétrica tfracx+1-2=t, tfracy-32=t, tfracz-13=t, ao tomar t=0 obtemos o ponto P0=(-1,3,1). O vetor diretor é v=(-2,2,3).

Passo 3

Em seguida, formamos o vetor P0Q que liga o ponto da reta ao ponto dado Q(1,4,-2). Calculamos:
P0Q=Q-P0=(1-(-1),,4-3,,-2-1)=(2,1,-3)
Para obter o vetor normal n do plano, fazemos o produto vetorial de v com P0Q:
$$\mathbf{n}=\mathbf{v}\times\overrightarrow{P_0Q}=\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\
-2 & 2 & 3\
2 & 1 & -3
\end{vmatrix}=-9,\mathbf{i}+0,\mathbf{j}-6,\mathbf{k}.$$
Podemos simplificar dividindo por n=vtimesP0Q= i & j & k -2 & 2 & 3 2 & 1 & -3 =-9,i+0,j-6,k, ficando -3).

Passo 4

Por fim, usamos a forma ncdot((x,y,z)-Q)=0 para escrever a equação do plano. Com Q(1,4,-2) e n=(3,0,2):
3(x-1)+0(y-4)+2(z+2)=0
Isso leva a
3x-3+2z+4=0
ou simplificando
3x+2z+1=0

Resposta

A equação cartesiana do plano é 3x+2z+1=0.

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