Verifique em cada um dos casos abaixo se
\langle u, v\rangle define um produto interno no espaço vetorial
dado.
\langle f, g\rangle=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}, sendo
.
\langle u, v\rangle define um produto interno no espaço vetorial
\langle f, g\rangle=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}, sendo
Passo 1
Vamos verificar se a forma bilinear
em
satisfaz as três propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividefinitude.
Passo 2
Primeiro, notamos que a definição usa apenas os coeficientes
e
. Dessa forma ela é claramente bilinear (soma de produtos escalares) e simétrica, pois
Passo 3
Agora, para ser produto interno, precisamos de positividade definida, ou seja,
para todo
. Mas aqui
Passo 4
Se escolhermos, por exemplo,
, então
e
. Logo
mas
Passo 5
Isso viola a positividade definida. Portanto a forma bilinear não é um produto interno em
.
Resposta
Não. Falha a positividade definida, pois existem polinômios não nulos (por exemplo
) com
.