Verifique em cada um dos casos abaixo se
\langle u, v\rangle define um produto interno no espaço vetorial V dado.
\langle f, g\rangle=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}, sendo f(t)=a0+a1 t+ldots+an t^n, g(t)=b0+b1 t+ldots+bn t^n in V=Pn(R).

Passo 1

Vamos verificar se a forma bilinear lang<= f,grang<==sumi=1^n ai bi em V=Pn( R) satisfaz as três propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividefinitude.

Passo 2

Primeiro, notamos que a definição usa apenas os coeficientes a1,dots,an e b1,dots,bn. Dessa forma ela é claramente bilinear (soma de produtos escalares) e simétrica, pois
lang<= f,grang<==sumi=1^n ai bi=sumi=1^n bi ai=lang<= g,frang<=

Passo 3

Agora, para ser produto interno, precisamos de positividade definida, ou seja, lang<= f,frang<=>0 para todo fneq0. Mas aqui
lang<= f,frang<==sumi=1^n ai^2

Passo 4

Se escolhermos, por exemplo, f(t)=1, então a0=1 e a1=cdots=an=0. Logo fneq0 mas
lang<= f,frang<==0

Passo 5

Isso viola a positividade definida. Portanto a forma bilinear não é um produto interno em Pn( R).

Resposta

Não. Falha a positividade definida, pois existem polinômios não nulos (por exemplo f(t)=1) com lang<= f,frang<==0.

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