Verifique em cada um dos casos abaixo se
\langle u, v\rangle define um produto interno no espaço vetorial V dado.
\langle u, v\rangle=\frac{x x{\prime}}{a{2}}+\frac{y y{\prime}}{b{2}}, sendo a, b in R e fixos e não nulos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação \<u,v\> definida por \<u,v\> = \frac{x x’}{a^2} + \frac{y y’}{b^2}, em que u = (x,y), v = (x’,y’) em V = \mathbb{R}^2 e a,b são fixos e não nulos, satisfaz os axiomas de produto interno (simetria, bilinearidade e positividade). Vamos usar esses conceitos para resolver.

Passo 2

Uma aplicação <·,·> : V × V → R é um produto interno se satisfaz: 1) simetria: = ; 2) linearidade na primeira entrada: = + e <λu,v> = λ para todo λ∈R; 3) positividade definida: > 0 para todo u≠0.

Passo 3

Note que = x x'a^2 + y y'b^2 é claramente simétrica, pois trocar u por v apenas troca x por x' e y por y':
x x'a^2 + y y'b^2 = x' xa^2 + y' yb^2,
ou seja, = .

Passo 4

Para linearidade, componha entradas:
= (x + xw)x'a^2 + (y + yw)y'b^2 = l(x x'a^2 + y y'b^2r) + l(xw x'a^2 + yw y'b^2r) = + ,
e também
<λu, v> = (λx)x'a^2 + (λy)y'b^2 = λl(x x'a^2 + y y'b^2r) = λ

Passo 5

Para positividade, calcule :
= x^2a^2 + y^2b^2
Como a^2>0 e b^2>0, a soma de quadrados positivos só é zero se x=0 e y=0. Portanto >0 sempre que u≠0.

Resposta

Sim, para quaisquer valores reais não nulos de a e b, a aplicação = x x'a^2 + y y'b^2 satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, e portanto é um produto interno em R^2.

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