Verifique em cada um dos casos abaixo se
\langle u, v\rangle define um produto interno no espaço vetorial
dado.
\langle u, v\rangle=\frac{x x{\prime}}{a{2}}+\frac{y y{\prime}}{b{2}}, sendo
e
fixos e não nulos.
\langle u, v\rangle define um produto interno no espaço vetorial
\langle u, v\rangle=\frac{x x{\prime}}{a{2}}+\frac{y y{\prime}}{b{2}}, sendo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação \<u,v\> definida por \<u,v\> = \frac{x x’}{a^2} + \frac{y y’}{b^2}, em que u = (x,y), v = (x’,y’) em V = \mathbb{R}^2 e a,b são fixos e não nulos, satisfaz os axiomas de produto interno (simetria, bilinearidade e positividade). Vamos usar esses conceitos para resolver.
Passo 2
Uma aplicação
é um produto interno se satisfaz: 1) simetria:
; 2) linearidade na primeira entrada:
e
para todo
; 3) positividade definida:
para todo
.
Passo 3
Note que
é claramente simétrica, pois trocar
por
apenas troca
por
e
por
:
ou seja,
.
Passo 4
Para linearidade, componha entradas:
e também
Passo 5
Para positividade, calcule
:
Como
e
, a soma de quadrados positivos só é zero se
e
. Portanto
sempre que
.
Resposta
Sim, para quaisquer valores reais não nulos de a e b, a aplicação
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, e portanto é um produto interno em
.