Questão 61. Resolva e classifique cada um dos sistemas matriciais abaixo pelos métodos do escalonamento, Roché-Capelli , regra de Cramer e Gauss - Jordan: \left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para resolver e classificar o sistema linear dado pela igualdade entre vetores linha. As informações fornecidas são:
A equação matricial é \left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & -2 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right].
Isso corresponde ao sistema de três equações lineares em \,x,y,z, (obtido multiplicando o vetor linha pela matriz coluna a coluna):
\begin{cases} -2x + y + z = 1,\\[4pt] x -2y + z = 1,\\[4pt] x + y -2z = 1. \end{cases}
O que devo fornecer:
Resolver o sistema (se houver solução) e
Classificar o sistema pelos métodos pedidos: escalonamento (eliminação), Teorema de Rouché–Capelli (ranks), Regra de Cramer (determinante) e Gauss–Jordan (redução para forma reduzida).]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda, termos independentes à direita). Peguei os coeficientes e termos independentes das equações listadas no Passo 1. A matriz aumentada é
Explicação curta do que farei: pelo escalonamento (operações elementares por linhas) vou transformar essa matriz numa forma triangular / escalonada para identificar se existe solução e quais são. Nas operações, só uso três tipos permitidos: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra.]
Passo 3
Primeira operação prática: para simplificar, troco \,R_1 e \,R_2 (assim a primeira linha tem pivô 1 e evita frações desnecessárias). Após a troca:
Interpretação do resultado do escalonamento: a terceira linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 3,
ou seja,
0 = 3,
que é uma contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Conclusão imediata pelo escalonamento: o sistema não tem solução.
Passo 8
Agora uso o Teorema de Rouché–Capelli (explicação didática):
Definição prática: seja A a matriz dos coeficientes e A^* a matriz aumentada (coeficientes + termos independentes). O teorema diz:
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^*)=r e r=n (número de incógnitas), então existe solução única.
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^*)=r<n, então existem infinitas soluções (parâmetros livres).
Se \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A^*), então o sistema é incompatível (sem solução).
Na forma escalonada encontrada (Passo 6), a parte de coeficientes (as três colunas à esquerda) tem duas linhas não nulas:
logo \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada tem terceira linha [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3], que é uma linha não nula na aumentada, então \operatorname{rank}(A^*)=3. Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A^*) (isto é, 2\neq 3), pelo Teorema de Rouché–Capelli o sistema é incompatível — confirma a conclusão do escalonamento: não há solução.]
Passo 9
Classificação pela Regra de Cramer (explicação didática):
A Regra de Cramer fornece a solução única de um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} somente quando \det(A)\neq 0. Se \det(A)=0, ou não existe solução ou existem infinitas soluções — a Regra de Cramer então não pode ser aplicada.
Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes
Portanto \det(A)=0. Consequência: a Regra de Cramer não é aplicável (não se obtém solução única); aliada ao resultado anterior (inconsistência), confirma que o sistema é incompatível.]
Passo 10
Gauss–Jordan (explicação didática e confirmação): método consiste em continuar as operações de linhas até obter a forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida, com pivôs iguais a 1 e zeros em toda coluna de cada pivô). No nosso escalonamento (Passos 3–6) já apareceu a linha contraditória [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3]. O Gauss–Jordan continuaria e manteria essa contradição — não há transformação por operações elementares que transforme [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] em algo consistente, porque isso representaria 0=3. Portanto a redução completa pelo Gauss–Jordan também indica que o sistema é inconsistente (sem solução). Em palavras simples: tanto a eliminação direta quanto a redução completa levam ao mesmo resultado de impossibilidade.
Passo 11
Resumo final da classificação e da solução (forma concentrada, para checar na prova):
Pelo escalonamento: aparece a linha [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] → contradição → sistema inconsistente → sem solução.
Pelo Teorema de Rouché–Capelli: \operatorname{rank}(A)=2 e \operatorname{rank}(A^*)=3 → \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A^*) → sistema incompatível.
Pela Regra de Cramer: \det(A)=0 → Regra de Cramer não aplicável (não há solução única); juntamente com a inconsitência confirma que não há solução.
Pelo Gauss–Jordan: redução exibe a mesma contradição [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] → sem solução.
Resposta
Sistema incompatível (sem solução).
Escalonamento: produz a linha [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] → contradição → sem solução.
Rouché–Capelli: \operatorname{rank}(A)=2, \operatorname{rank}(A^*)=3\Rightarrow sem solução.
Regra de Cramer: \det(A)=0\Rightarrow não aplicável (não há solução única).
Gauss–Jordan: redução leva à linha contraditória [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] → sem solução.