Questão 61. Resolva e classifique cada um dos sistemas matriciais abaixo pelos métodos do escalonamento, Roché-Capelli , regra de Cramer e Gauss - Jordan:
\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver e classificar o sistema linear dado pela igualdade entre vetores linha. As informações fornecidas são:
  • A equação matricial é \left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & -2 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right].
  • Isso corresponde ao sistema de três equações lineares em \,x,y,z, (obtido multiplicando o vetor linha pela matriz coluna a coluna):
\begin{cases} -2x + y + z = 1,\\[4pt] x -2y + z = 1,\\[4pt] x + y -2z = 1. \end{cases}
O que devo fornecer:
  • Resolver o sistema (se houver solução) e
  • Classificar o sistema pelos métodos pedidos: escalonamento (eliminação), Teorema de Rouché–Capelli (ranks), Regra de Cramer (determinante) e Gauss–Jordan (redução para forma reduzida).]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda, termos independentes à direita). Peguei os coeficientes e termos independentes das equações listadas no Passo 1. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right].
Explicação curta do que farei: pelo escalonamento (operações elementares por linhas) vou transformar essa matriz numa forma triangular / escalonada para identificar se existe solução e quais são. Nas operações, só uso três tipos permitidos: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra.]

Passo 3

Primeira operação prática: para simplificar, troco \,R_1 e \,R_2 (assim a primeira linha tem pivô 1 e evita frações desnecessárias). Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] -2 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora eliminarei as entradas abaixo do pivô da coluna 1.
  • Faço \,R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Cálculo linha a linha:
    • Primeira entrada: -2 + 2\cdot 1 = 0.
    • Segunda: 1 + 2\cdot(-2) = 1 -4 = -3.
    • Terceira: 1 + 2\cdot 1 = 3.
    • Termo independente: 1 + 2\cdot 1 = 3.
  • Faço \,R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Cálculo:
    • Primeira: 1 - 1 = 0.
    • Segunda: 1 - (-2) = 3.
    • Terceira: -2 - 1 = -3.
    • Termo independente: 1 - 1 = 0.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 3 & -3 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora simplifico a segunda linha dividindo por -3 (operação permitida: multiplicar linha por escalar não nulo). Assim
R_2 \leftarrow \frac{1}{-3}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2 = [\,0\\ \\\ 1\\ \\\ -1\\ \\\ -1\,],
e a matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -3 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Elimino a entrada \,3 da coluna 2 na terceira linha usando a nova R_2:
Faço \,R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2. Cálculo componente a componente:
  • Coluna 1: 0 - 3\cdot 0 = 0.
  • Coluna 2: 3 - 3\cdot 1 = 0.
  • Coluna 3: -3 - 3\cdot(-1) = -3 + 3 = 0.
  • Termo independente: 0 - 3\cdot(-1) = 0 + 3 = 3.
Assim a terceira linha fica [\,0\\ \\\ 0\\ \\\ 0 \mid 3\,]. A matriz escalonada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação do resultado do escalonamento: a terceira linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 3,
ou seja,
0 = 3,
que é uma contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Conclusão imediata pelo escalonamento: o sistema não tem solução.

Passo 8

Agora uso o Teorema de Rouché–Capelli (explicação didática):
  • Definição prática: seja A a matriz dos coeficientes e A^* a matriz aumentada (coeficientes + termos independentes). O teorema diz:
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^*)=r e r=n (número de incógnitas), então existe solução única.
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^*)=r<n, então existem infinitas soluções (parâmetros livres).
    • Se \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A^*), então o sistema é incompatível (sem solução).
Na forma escalonada encontrada (Passo 6), a parte de coeficientes (as três colunas à esquerda) tem duas linhas não nulas:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right],
logo \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada tem terceira linha [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3], que é uma linha não nula na aumentada, então \operatorname{rank}(A^*)=3. Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A^*) (isto é, 2\neq 3), pelo Teorema de Rouché–Capelli o sistema é incompatível — confirma a conclusão do escalonamento: não há solução.]

Passo 9

Classificação pela Regra de Cramer (explicação didática):
  • A Regra de Cramer fornece a solução única de um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} somente quando \det(A)\neq 0. Se \det(A)=0, ou não existe solução ou existem infinitas soluções — a Regra de Cramer então não pode ser aplicada.
Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes
A=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -2 \end{array}\right].
Calculo por expansão na primeira linha:
\det(A)=(-2)\cdot\det\!\left(\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}\right) -1\cdot\det\!\left(\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}\right) +1\cdot\det\!\left(\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\right).
Calculando os menores:
\det\!\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}=(-2)(-2)-1\cdot 1=4-1=3,
\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}=1\cdot(-2)-1\cdot 1=-2-1=-3,
\det\!\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - (-2)\cdot 1 = 1+2=3.
Substituindo:
\det(A)=(-2)\cdot 3 - 1\cdot(-3) + 1\cdot 3 = -6 + 3 + 3 = 0.
Portanto \det(A)=0. Consequência: a Regra de Cramer não é aplicável (não se obtém solução única); aliada ao resultado anterior (inconsistência), confirma que o sistema é incompatível.]

Passo 10

Gauss–Jordan (explicação didática e confirmação): método consiste em continuar as operações de linhas até obter a forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida, com pivôs iguais a 1 e zeros em toda coluna de cada pivô). No nosso escalonamento (Passos 3–6) já apareceu a linha contraditória [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3]. O Gauss–Jordan continuaria e manteria essa contradição — não há transformação por operações elementares que transforme [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] em algo consistente, porque isso representaria 0=3. Portanto a redução completa pelo Gauss–Jordan também indica que o sistema é inconsistente (sem solução). Em palavras simples: tanto a eliminação direta quanto a redução completa levam ao mesmo resultado de impossibilidade.

Passo 11

Resumo final da classificação e da solução (forma concentrada, para checar na prova):
  • Pelo escalonamento: aparece a linha [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] → contradição → sistema inconsistente → sem solução.
  • Pelo Teorema de Rouché–Capelli: \operatorname{rank}(A)=2 e \operatorname{rank}(A^*)=3 \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A^*) → sistema incompatível.
  • Pela Regra de Cramer: \det(A)=0 → Regra de Cramer não aplicável (não há solução única); juntamente com a inconsitência confirma que não há solução.
  • Pelo Gauss–Jordan: redução exibe a mesma contradição [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] → sem solução.

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).
Escalonamento: produz a linha [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] → contradição → sem solução.
Rouché–Capelli: \operatorname{rank}(A)=2, \operatorname{rank}(A^*)=3 \Rightarrow sem solução.
Regra de Cramer: \det(A)=0 \Rightarrow não aplicável (não há solução única).
Gauss–Jordan: redução leva à linha contraditória [0\\\ 0\\\ 0 \mid 3] → sem solução.

Exercícios relacionados