Questão 62. Encontre os valores dos números reais x, y e z na equação: (x+2 y+z-5)^{2}+(2 x-y+3 z-19)^{2}+(3 x+y-4 z+8)^{2}=0 pelos seguintes métodos:
Escalonamento.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
(x+2y+z-5)^{2}+(2x-y+3z-19)^{2}+(3x+y-4z+8)^{2}=0.
O que é pedido: encontrar os valores reais de x, y e z que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada termo dentro dos parênteses é um número real e está ao quadrado.
  • A soma de quadrados de números reais só pode ser zero se cada quadrado for zero. Portanto obtemos o sistema linear (peguei estas equações da expressão dada):
\begin{cases} x+2y+z=5,\\[4pt] 2x-y+3z=19,\\[4pt] 3x+y-4z=-8. \end{cases}]

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (escalonamento/Gauss): representar o sistema como uma matriz aumentada e aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular superior; depois usar substituição regressiva para achar as variáveis. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.
Matriz aumentada do sistema (colocando as constantes à direita):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 19\\[4pt] 3 & 1 & -4 & -8 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeira etapa do escalonamento: zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (pivô inicial é 1 na posição (1,1)).
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Cálculos:
  • Para R_2: 2-2\cdot1=0, -1-2\cdot2=-5, 3-2\cdot1=1, 19-2\cdot5=9. Então R_2 vira [0\\\ -5\\\ 1\mid 9].
  • Para R_3: 3-3\cdot1=0, 1-3\cdot2=-5, -4-3\cdot1=-7, -8-3\cdot5=-23. Então R_3 vira [0\\\ -5\\\ -7\mid -23].
A matriz torna-se
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 0 & -5 & 1 & 9\\[4pt] 0 & -5 & -7 & -23 \end{array}\right].]

Passo 4

Segunda etapa do escalonamento: usar o pivô da segunda linha (posição (2,2), valor -5) para zerar o elemento abaixo dele na coluna 2.
Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Cálculos:
  • Coluna 2: -5 - (-5) = 0.
  • Coluna 3: -7 - 1 = -8.
  • Constante: -23 - 9 = -32.
Então R_3 vira [0\\\ 0\\\ -8\mid -32] e a matriz escalonada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 0 & -5 & 1 & 9\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -32 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora temos uma matriz triangular superior. Vamos resolver por substituição regressiva.
A terceira linha dá a equação
-8z = -32.
Dividindo ambos os lados por -8 (que é diferente de zero) obtemos
z = 4.
Explicação curta: dividir por um número não nulo mantém a igualdade e isola z.

Passo 6

Usar z=4 na segunda equação (linha 2) para encontrar y. A segunda linha corresponde a
-5y + 1\cdot z = 9.
Substituindo z=4:
-5y + 4 = 9.
Isolando y:
-5y = 9-4 = 5 \quad\Rightarrow\quad y = -1.

Passo 7

Finalmente usar y=-1 e z=4 na primeira equação para achar x. A primeira equação é
x + 2y + z = 5.
Substituindo:
x + 2(-1) + 4 = 5 \quad\Rightarrow\quad x -2 +4 =5 \quad\Rightarrow\quad x +2 =5.
Logo
x = 3.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil): substituir (x,y,z)=(3,-1,4) nas expressões dos parênteses do enunciado:
  • x+2y+z-5 = 3 + 2(-1) + 4 -5 = 0.
  • 2x-y+3z-19 = 6 - (-1) + 12 -19 = 0.
  • 3x+y-4z+8 = 9 -1 -16 +8 = 0.
    Como cada um é zero, cada quadrado é zero e a soma é zero — solução confirmada.

Resposta

x=3
y=-1
z=4

Exercícios relacionados