Questão 65. Uma dívida de \mathrm{R} \ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada três meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto deéêçã15 %$ a.a. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Valor nominal da dívida: R\$\,30.000,00.
  • Prazo original até o vencimento: 1 ano.
  • A dívida é paga 3 meses antes do vencimento.
  • Taxa de desconto: 15\% ao ano (escrita como 15\% a.a.).
  • Pergunta: determinar o valor da dívida a ser pago na quitação antecipada (ou seja, o valor presente com o desconto concedido).

Passo 2

Escolha do método e fórmula usada.
Aqui vamos usar o desconto comercial simples (também chamado de desconto por fora), que é o procedimento padrão em muitos exercícios de antecipação de pagamento quando o problema informa uma taxa percentual a.a. e pede o valor a pagar antecipadamente. A ideia é: o credor aplica um desconto proporcional ao valor nominal pela parcela do ano de antecipação. As fórmulas básicas são:
D = N \cdot i \cdot t
PV = N - D = N \cdot (1 - i\cdot t)
onde:
  • N é o valor nominal (a dívida que vence no futuro);
  • i é a taxa de desconto por período (aqui ao ano, em forma decimal);
  • t é o tempo de antecipação, medido em anos;
  • D é o valor do desconto absoluto (quanto se retira do nominal);
  • PV é o valor presente — ou seja, o que será efetivamente pago agora.
Vou explicar: multiplicamos o valor futuro pela taxa e pelo tempo para obter o desconto absoluto. Depois subtraímos esse desconto do valor nominal para achar o valor a pagar. É direto e é o método exigido por enunciados que falam em “desconto de X% a.a.” sem outras indicações.

Passo 3

Calcular o tempo de antecipação em anos. Como a quitação é feita 3 meses antes de um vencimento que estava a 1 ano, o período de antecedência é:
t=\frac{3}{12}=0,25\\ \text{ano}.

Passo 4

Transformar a taxa percentual em decimal e aplicar a fórmula do desconto. A taxa dada é 15\% ao ano, logo em decimal:
i=0,15.
Agora calcular o desconto D:
D = N\cdot i\cdot t = R\$\,30.000,00 \cdot 0,15 \cdot 0,25.

Passo 5

Fazer as multiplicações passo a passo. Primeiro calcule 0,15\cdot 0,25:
0,15\cdot 0,25 = 0,0375.
Agora multiplica pelo nominal:
D = R\$\,30.000,00 \cdot 0,0375 = R\$\,1.125,00.
Isso significa que o credor abate R\$\,1.125,00 do valor devido por causa da antecipação.

Passo 6

Calcular o valor a ser pago (valor presente) subtraindo o desconto do nominal:
PV = N - D = R\$\,30.000,00 - R\$\,1.125,00 = R\$\,28.875,00.
Interpretação rápida: pagando três meses antes com desconto de 15\% a.a., você paga R\$\,28.875,00 e o credor “perde” R\$\,1.125,00 em juros que deixaria de receber nesses três meses.

Resposta

R\$\,28.875,00

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