Questão 65. Prove a propriedade de translação: Se
então
onde
Como aplicação, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Provar a propriedade de translação no tempo: se
onde
- Aplicar essa propriedade para calcular
Informações relevantes dadas:
- A propriedade envolve um fator multiplicativo na inversa.
- Na aplicação, a função a inverter contém o fator
, ou seja, há um deslocamento temporal com e uma constante multiplicativa .
A partir daqui vou primeiro provar a propriedade e depois usar o resultado na aplicação.]
Passo 2
Definição e ideia principal (muito importante para entender a prova).
- Definição de transformada de Laplace: para uma função
- Para representar a função que é zero antes de
e igual a depois de , é conveniente usar a função degrau de Heaviside , definida por
Assim a função que aparece na propriedade pode ser escrita como
A estratégia: calcular
. Isso prova que a inversa de
é
.
Passo 3
Cálculo do
passo a passo.
Começamos por escrever a transformada pela definição:
Começamos por escrever a transformada pela definição:
Como
para
e
para
, o intervalo de integração reduz-se a
variando de
até
:
Passo 4
Troca de variável (substituição) para relacionar com
.
Faço a substituição . Então
e
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Faço a substituição
Pela definição de
a integral é exatamente
. Portanto
Passo 5
Conclusão da prova da propriedade.
Visto que , pela unicidade da transformada de Laplace segue-se que a inversa é
. Ou seja,
Visto que
o que em forma equivalente dá
Isso prova a propriedade de translação no tempo.]
Passo 6
Aplicação: identificar
e o deslocamento em
Escrevo
. Então a função a inverter é
Comparando com a propriedade: aqui
(o deslocamento) e
Primeiro encontro
. Depois aplico o deslocamento por
e multiplico por
.
Passo 7
Calcular
usando a fórmula com a função Gamma.
Conhecimento útil (fórmula padrão): para ,
Conhecimento útil (fórmula padrão): para
Invertendo,
No nosso caso
e
. Logo
Preciso do valor de
. Usando
e
:
Portanto
Passo 8
Aplicar a propriedade de translação com
e multiplicar pela constante
.
Pela propriedade, a inversa de é
. Como temos
, o fator
sai multiplicando no domínio do tempo. Assim a inversa pedida é
Pela propriedade, a inversa de
Substituindo
obtido no passo anterior:
Isso é a forma final; pode-se deixar o fator exponencial multiplicado com
se quiser, mas a escrita acima é clara e mostra a estrutura
.