Questão 69. Mostre que, se f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} e g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s) \cdot G(s)\}=\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau=f \star g
Mostre também que f \star g=g \star f. Como aplicação, mostre que
а) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}\right\}=\frac{t \operatorname{sen}(a t)}{2 a};
b) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t}+2 e^{-t}+t-2.
Passo 1
O enunciado dá duas funções-tempo f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} e g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e pede três coisas:
ou seja, que a transformada inversa do produto é a convolução f\star g.
Mostrar que a convolução é comutativa: f\star g = g\star f.
Aplicar essa propriedade para calcular duas transformadas inversas:
a) \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}\right\};
b) \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}(s+1)^{2}}\right\}.
Informações relevantes fornecidas / que vamos usar:
Definição da transformada de Laplace: para h(t) apropriada,
Supõe-se que F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) e G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s) existem para \Re(s) suficientemente grande, de modo que as integrais abaixo convergem e é permitido trocar a ordem de integração (teorema de Fubini/Tonelli). A demonstração usar-se-á disso.
Passo 2
Definir a convolução e escrever o objetivo técnico.
A convolução de f e g é a função do tempo
Queremos mostrar que \mathcal{L}\{f\star g\}(s)=F(s)\,G(s). A partir disso, pela unicidade da transformada de Laplace, obtemos a fórmula para a transformada inversa do produto.
Passo 3
Calcular \mathcal{L}\{f\star g\}(s) a partir da definição. Começamos escrevendo a transformada de Laplace da convolução:
\tau é a variável de integração interna da convolução, com 0\le \tau\le t.
A integral dupla está sobre a região triangular \{(t,\tau)\mid 0\le \tau\le t<\infty\}.
Passo 4
Trocar a ordem de integração (aplicando Fubini). A condição de existência de F(s) e G(s) garante que a integral dupla é absolutamente convergente para \Re(s) grande o suficiente; assim podemos trocar a ordem das integrais:
Na segunda igualdade trocámos a ordem: primeiro integramos em t fixando \tau, e para cada \tau a variável t vai de \tau até \infty.
Passo 5
Fazer a mudança de variável interna u=t-\tau para separar as dependências em \tau e u. Quando t varia de \tau a \infty, temos u=t-\tau variando de 0 a \infty. Além disso t=\tau+u e dt=du. Substituindo,
Aqui isolámos o fator que depende de \tau e o que depende de u.]
Passo 6
Reconhecer as transformadas de Laplace nas integrais obtidas. A integral em u é exatamente G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s), e a integral em \tau é F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s). Assim
Concluir a relação para a transformada inversa. Como a transformada de Laplace é injetora em uma classe adequada de funções (isto é, duas funções com mesma transformada praticamente coincidem quase sempre), temos a identidade de inversa: