Questão 1(\mathbf{2 , 5}) : Calcule \iint_{D}\left(3 x^{2}-3 x+2 y-1\right) d A, em que D é a região delimitada pelo paralelogramo de vértices (-1,-1),(-1,1),(1,3) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3 x^{2}-3 x+2 y-1\right)\,dA,
onde D é a região delimitada pelo paralelogramo cujos vértices são (-1,-1),(-1,1),(1,3) e (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vértices do paralelogramo são (-1,-1), (-1,1), (1,3) e (1,1).
  • A função a ser integrada é f(x,y)=3x^{2}-3x+2y-1.
  • É pedido o valor numérico da integral dupla sobre a região D.
O que preciso devolver: o valor numérico da integral dupla indicada.

Passo 2

Descrever a região D por desigualdades (para poder integrar de forma iterada).
Vamos encontrar as equações das retas que são as arestas superiores e inferiores do paralelogramo, usando os vértices dados.
  • A aresta inferior liga (-1,-1) a (1,1). Esses pontos satisfazem a relação y=x. Logo a reta inferior é \;y=x\;.
  • A aresta superior liga (-1,1) a (1,3). Esses pontos satisfazem y=x+2. Logo a reta superior é \;y=x+2\;.
  • As arestas laterais têm x=-1 (entre (-1,-1) e (-1,1)) e x=1 (entre (1,1) e (1,3)). Logo x varia de -1 a 1.
Portanto a região D pode ser descrita como
D=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; x\le y\le x+2\}.

Passo 3

Montar a integral iterada usando a descrição de D.
Como y varia entre x e x+2 para cada x\in[-1,1], a integral dupla pode ser escrita como
\iint_{D}\left(3 x^{2}-3 x+2 y-1\right)\,dA = \int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=x}^{x+2}\left(3 x^{2}-3 x+2 y-1\right)\,dy\right)dx.
Explicação rápida (didática): escolher a ordem dy\,dx é natural aqui porque para cada x fixado os limites em y são duas retas lineares simples y=x e y=x+2. Integrar em y primeiro simplifica.

Passo 4

Calcular a integral interna em y.
Integro termo a termo em relação a y. Para fixed x, 3x^{2}-3x-1 é constante em y e 2y depende de y. Assim,
\int_{y=x}^{x+2}\left(3 x^{2}-3 x+2 y-1\right)\,dy = \int_{y=x}^{x+2}\left(3 x^{2}-3 x-1\right)\,dy + \int_{y=x}^{x+2}2y\,dy.
Calcule cada peça:
  • Como \;3x^{2}-3x-1\; é constante em y,
\int_{y=x}^{x+2}\left(3 x^{2}-3 x-1\right)\,dy=(3 x^{2}-3 x-1)\,y\Big|_{y=x}^{y=x+2}.
  • Para \;2y\;,
\int_{y=x}^{x+2}2y\,dy = y^{2}\Big|_{y=x}^{y=x+2}.
Agora avalio nos limites:
(3 x^{2}-3 x-1)(x+2)+ (x+2)^{2} \;-\; \big[(3 x^{2}-3 x-1)x + x^{2}\big].

Passo 5

Simplificar a expressão obtida na avaliação em y.
Calcule primeiro a parte em y=x+2:
(3 x^{2}-3 x-1)(x+2)+(x+2)^{2}.
Multiplicando:
(3 x^{2}-3 x-1)(x+2) = 3x^{3}+3x^{2}-7x-2,
e
(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4.
Somando:
3x^{3}+3x^{2}-7x-2 + x^{2}+4x+4 = 3x^{3}+4x^{2}-3x+2.
Agora a parte em y=x:
(3 x^{2}-3 x-1)x + x^{2} = 3x^{3}-2x^{2}-x.
Subtraindo (valor em x+2 menos valor em x):
\big(3x^{3}+4x^{2}-3x+2\big) - \big(3x^{3}-2x^{2}-x\big) = 6x^{2}-2x+2.
Portanto a integral interna reduzida a uma função só de x é \;6x^{2}-2x+2\;.

Passo 6

Integrar em x no intervalo [-1,1].
Agora calculo
\int_{-1}^{1}\big(6x^{2}-2x+2\big)\,dx.
Encontro uma primitiva (antiderivada) termo a termo:
  • \int 6x^{2}\,dx = 2x^{3},
  • \int -2x\,dx = -x^{2},
  • \int 2\,dx = 2x.
Logo uma antiderivada é F(x)=2x^{3}-x^{2}+2x. Avaliando de -1 a 1:
F(1)=2(1)^{3}-1^{2}+2(1)=2-1+2=3,
F(-1)=2(-1)^{3}-(-1)^{2}+2(-1) = -2-1-2 = -5.
Subtraindo,
\int_{-1}^{1}\big(6x^{2}-2x+2\big)\,dx = F(1)-F(-1)=3-(-5)=8.
Verificação rápida por simetria (cheque didático): \;6x^{2} é par, -2x é ímpar (integra a zero em [-1,1]), e 2 é constante; então o integral vale 2\int_{-1}^{1}3x^{2}dx + \int_{-1}^{1}2dx = 2\cdot\frac{6\cdot1^{3}}{3}+2\cdot(1-(-1))/2 — isto é só um outro jeitinho de checar; o resultado concorda com 8.

Resposta

8

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