Questão 1(\mathbf{2 , 5}) : Calcule \iint_{D}\left(3 x^{2}-3 x+2 y-1\right) d A, em que D é a região delimitada pelo paralelogramo de vértices (-1,-1),(-1,1),(1,3) e (1,1).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3 x^{2}-3 x+2 y-1\right)\,dA,
onde D é a região delimitada pelo paralelogramo cujos vértices são (-1,-1),(-1,1),(1,3) e (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
Os vértices do paralelogramo são (-1,-1), (-1,1), (1,3) e (1,1).
A função a ser integrada é f(x,y)=3x^{2}-3x+2y-1.
É pedido o valor numérico da integral dupla sobre a região D.
O que preciso devolver: o valor numérico da integral dupla indicada.
Passo 2
Descrever a região D por desigualdades (para poder integrar de forma iterada).
Vamos encontrar as equações das retas que são as arestas superiores e inferiores do paralelogramo, usando os vértices dados.
A aresta inferior liga (-1,-1) a (1,1). Esses pontos satisfazem a relação y=x. Logo a reta inferior é \;y=x\;.
A aresta superior liga (-1,1) a (1,3). Esses pontos satisfazem y=x+2. Logo a reta superior é \;y=x+2\;.
As arestas laterais têm x=-1 (entre (-1,-1) e (-1,1)) e x=1 (entre (1,1) e (1,3)). Logo x varia de -1 a 1.
Portanto a região D pode ser descrita como
D=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; x\le y\le x+2\}.
Passo 3
Montar a integral iterada usando a descrição de D.
Como y varia entre x e x+2 para cada x\in[-1,1], a integral dupla pode ser escrita como
Explicação rápida (didática): escolher a ordem dy\,dx é natural aqui porque para cada x fixado os limites em y são duas retas lineares simples y=x e y=x+2. Integrar em y primeiro simplifica.
Passo 4
Calcular a integral interna em y.
Integro termo a termo em relação a y. Para fixed x, 3x^{2}-3x-1 é constante em y e 2y depende de y. Assim,
Verificação rápida por simetria (cheque didático): \;6x^{2} é par, -2x é ímpar (integra a zero em [-1,1]), e 2 é constante; então o integral vale 2\int_{-1}^{1}3x^{2}dx + \int_{-1}^{1}2dx = 2\cdot\frac{6\cdot1^{3}}{3}+2\cdot(1-(-1))/2 — isto é só um outro jeitinho de checar; o resultado concorda com 8.