Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(y \ln y-e^{-x}\right) d x+\left(\frac{1}{y}+x \ln y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(y\ln y - e^{-x}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(\tfrac{1}{y} + x\ln y\bigr)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Aqui o conteúdo é equação diferencial exata. Definimos
M(x,y) = y\ln y - e^{-x}, \quad N(x,y) = \tfrac{1}{y} + x\ln y.

Passo 2

Para testar exatidão, comparamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\ln y\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-x}\bigr) = \ln y + 1,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\ln y\bigr) = 0 + \ln y = \ln y.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = \ln y + 1 \quad\neq\quad \frac{\partial N}{\partial x} = \ln y,
a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata, logo não podemos resolver diretamente pelo método de equação exata sem antes encontrar um fator integrante.

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