Questão 4. (6pts) Usando a Regra da Cadeia para funções de várías variáveís, ache \frac{\partial f}{\partial u} e \frac{\partial f}{\partial v} como função de u e v da função: f(x, y)=x \cos \left(y^{2}\right), \quad x=u^{2}+v^{3} \quad e \quad y=u^{3} v^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x\cos\bigl(y^{2}\bigr)
com as substituições
x = u^{2}+v^{3}, \quad y = u^{3}v^{2}.
Precisamos encontrar \partial f/\partial u e \partial f/\partial v em função de u,v usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e a y, tratando a outra variável como constante. Como
f(x,y)=x\cos(y^2),
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos\bigl(y^2\bigr), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =x\;\frac{d}{dy}\bigl[\cos(y^2)\bigr] =x\bigl(-\sin(y^2)\bigr)\cdot 2y =-2\,x\,y\,\sin\bigl(y^2\bigr).

Passo 3

Agora, derivamos x(u,v) e y(u,v):
x(u,v)=u^2+v^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial u}=2u, \quad \frac{\partial x}{\partial v}=3v^2;
y(u,v)=u^3v^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial u}=3u^2v^2, \quad \frac{\partial y}{\partial v}=2u^3v.

Passo 4

A Regra da Cadeia para funções de duas variáveis diz:
\frac{\partial f}{\partial u} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial f}{\partial v} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}.

Passo 5

Substituindo em \partial f/\partial u:
\frac{\partial f}{\partial u} =\cos\bigl(y^2\bigr)\cdot(2u) +(-2xy\sin(y^2))\cdot(3u^2v^2) =2u\cos\bigl(y^2\bigr)-6u^2v^2\,x\,y\,\sin\bigl(y^2\bigr).
Agora colocamos x=u^2+v^3 e y=u^3v^2, lembrando que y^2=(u^3v^2)^2=u^6v^4:
\frac{\partial f}{\partial u} =2u\cos\bigl(u^6v^4\bigr) -6u^2v^2\,(u^2+v^3)\,(u^3v^2)\,\sin\bigl(u^6v^4\bigr) =2u\cos\bigl(u^6v^4\bigr) -6u^5v^4\,(u^2+v^3)\,\sin\bigl(u^6v^4\bigr).

Passo 6

Substituindo em \partial f/\partial v:
\frac{\partial f}{\partial v} =\cos\bigl(y^2\bigr)\cdot(3v^2) +(-2xy\sin(y^2))\cdot(2u^3v) =3v^2\cos\bigl(y^2\bigr)-4u^3v\,x\,y\,\sin\bigl(y^2\bigr).
De novo x=u^2+v^3, y=u^3v^2 e y^2=u^6v^4:
\frac{\partial f}{\partial v} =3v^2\cos\bigl(u^6v^4\bigr) -4u^3v\,(u^2+v^3)\,(u^3v^2)\,\sin\bigl(u^6v^4\bigr) =3v^2\cos\bigl(u^6v^4\bigr) -4u^6v^3\,(u^2+v^3)\,\sin\bigl(u^6v^4\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial u} =2u\cos\bigl(u^6v^4\bigr) -6u^5v^4\,(u^2+v^3)\,\sin\bigl(u^6v^4\bigr)
\frac{\partial f}{\partial v} =3v^2\cos\bigl(u^6v^4\bigr) -4u^6v^3\,(u^2+v^3)\,\sin\bigl(u^6v^4\bigr)

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