Questão 73. Durante quanto tempo um capital de \mathrm{R} \ 5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa deà1,9 % a.m para se obter um montante de\mathrm{R} $7.000,00$ ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa clara:
  • Capital inicial (principal): P=\mathrm{R}\$\,5.000{,}00.
  • Montante desejado: M=\mathrm{R}\$\,7.000{,}00.
  • Taxa de juros compostos: i=1{,}9\% ao mês (vou usar a notação 1{,}9\%\\ \text{a.m.}).
    Pergunta: durante quanto tempo (em meses) esse capital deve ser aplicado para que o montante atinja M?

Passo 2

Qual fórmula usar e o que cada símbolo significa (explicação passo a passo):
Em regime de juros compostos, a relação entre montante M, capital P, taxa por período i e número de períodos n é
M = P(1+i)^{n}.
Aqui: M é o valor final (montante), P é o valor inicial, i é a taxa por período (expressa em forma decimal) e n é o número de períodos (aqui, número de meses). Essa fórmula vem da ideia de que a cada período o capital é multiplicado por (1+i), repetidamente, por n vezes.

Passo 3

Isolar n na fórmula (mostrar a técnica de logaritmos):
Primeiro dividimos ambos os lados por P para ficar só a potência:
\frac{M}{P}=(1+i)^{n}.
Para encontrar n quando temos uma potência, usamos logaritmos (qualquer base serve: natural, base 10, etc.), porque a propriedade importante é \log(a^{b})=b\log(a). Aplicando logaritmo em ambos os lados obtemos
\log\!\left(\frac{M}{P}\right)=\log\!\big((1+i)^{n}\big)=n\log(1+i).
Isolando n,
n=\frac{\log\!\left(\dfrac{M}{P}\right)}{\log(1+i)}.
Isso significa: o tempo é o quociente entre o logaritmo do fator de crescimento M/P e o logaritmo do fator por período 1+i.

Passo 4

Substituir os valores do enunciado (converter percentagem para decimal):
A taxa i=1{,}9\% em decimal é i=0{,}019. O fator M/P é
\frac{M}{P}=\frac{\mathrm{R}\$\,7.000{,}00}{\mathrm{R}\$\,5.000{,}00}= \frac{7000}{5000}=1{,}4.
Portanto a expressão para n fica
n=\frac{\log(1{,}4)}{\log(1{,}019)}.
Aqui estou usando \log genérico; você pode computar com \ln (log natural) ou \log_{10}, o resultado é o mesmo porque as duas base se cancelam no quociente.

Passo 5

Como calcular os logaritmos sem pular etapas (explicação e aproximação):
Se você tem calculadora, basta calcular \ln(1{,}4) e \ln(1{,}019). Se não tem, para números muito próximos de 1 podemos usar a série de Taylor
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots,
que converge rápido quando x é pequeno. Aqui vamos mostrar as duas ideias e usar valores aproximados confiáveis:
  • Para \ln(1{,}4) sabemos que \ln(1{,}4)\approx 0{,}3364722366 (valor padrão de tabela/calculadora).
  • Para \ln(1{,}019) podemos usar a série com x=0{,}019: \ln(1{,}019)\approx 0{,}019-\frac{0{,}019^{2}}{2}+\frac{0{,}019^{3}}{3}\approx 0{,}019-0{,}0001805+0{,}000002286\approx 0{,}018821786.Esse valor está muito próximo do valor de tabela/calculadora \ln(1{,}019)\approx 0{,}0188217534. Para manter precisão usarei \ln(1{,}019)\approx 0{,}0188217534.

Passo 6

Fazer a divisão e obter n (mostrar a conta):
Substituindo os valores aproximados:
n\approx\frac{0{,}3364722366}{0{,}0188217534}\approx 17{,}8768.
Isso significa aproximadamente 17{,}8768 meses.

Passo 7

Interpretar o resultado em meses e dias (como apresentar na prova):
  • Em meses decimais: n\approx 17{,}8768 meses.
  • Para transformar a parte decimal em dias, multiplica-se por 30 (ou pela contagem de dias que a sua prova usar). Usando 30 dias por mês,
0{,}8768\times 30\approx 26{,}304\\ \text{dias},
ou seja cerca de 26 dias. Portanto, o tempo é aproximadamente 17 meses e 26 dias. Se for necessário arredondar a meses inteiros, arredonda-se para 18 meses (dependendo do nível de precisão pedido).

Resposta

n\approx 17{,}88\\ \text{meses} (aprox. 17 meses e 26 dias)

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