Questão 73. Durante quanto tempo um capital de
5.000,00
1,9 %
\mathrm{R} $7.000,00$ ?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa clara:
- Capital inicial (principal):
. - Montante desejado:
. - Taxa de juros compostos:
ao mês (vou usar a notação ).
Pergunta: durante quanto tempo (em meses) esse capital deve ser aplicado para que o montante atinja?
Passo 2
Qual fórmula usar e o que cada símbolo significa (explicação passo a passo):
Em regime de juros compostos, a relação entre montante , capital
, taxa por período
e número de períodos
é
Em regime de juros compostos, a relação entre montante
Aqui:
é o valor final (montante),
é o valor inicial,
é a taxa por período (expressa em forma decimal) e
é o número de períodos (aqui, número de meses). Essa fórmula vem da ideia de que a cada período o capital é multiplicado por
, repetidamente, por
vezes.
Passo 3
Isolar
na fórmula (mostrar a técnica de logaritmos):
Primeiro dividimos ambos os lados por para ficar só a potência:
Primeiro dividimos ambos os lados por
Para encontrar
quando temos uma potência, usamos logaritmos (qualquer base serve: natural, base 10, etc.), porque a propriedade importante é
. Aplicando logaritmo em ambos os lados obtemos
Isolando
,
Isso significa: o tempo é o quociente entre o logaritmo do fator de crescimento
e o logaritmo do fator por período
.
Passo 4
Substituir os valores do enunciado (converter percentagem para decimal):
A taxa em decimal é
. O fator
é
A taxa
Portanto a expressão para
fica
Aqui estou usando
genérico; você pode computar com
(log natural) ou
, o resultado é o mesmo porque as duas base se cancelam no quociente.
Passo 5
Como calcular os logaritmos sem pular etapas (explicação e aproximação):
Se você tem calculadora, basta calcular e
. Se não tem, para números muito próximos de 1 podemos usar a série de Taylor
Se você tem calculadora, basta calcular
que converge rápido quando
é pequeno. Aqui vamos mostrar as duas ideias e usar valores aproximados confiáveis:
- Para
sabemos que (valor padrão de tabela/calculadora). - Para
podemos usar a série com : Esse valor está muito próximo do valor de tabela/calculadora . Para manter precisão usarei .
Passo 6
Fazer a divisão e obter
(mostrar a conta):
Substituindo os valores aproximados:
Substituindo os valores aproximados:
Isso significa aproximadamente
meses.
Passo 7
Interpretar o resultado em meses e dias (como apresentar na prova):
- Em meses decimais:
meses. - Para transformar a parte decimal em dias, multiplica-se por 30 (ou pela contagem de dias que a sua prova usar). Usando 30 dias por mês,
ou seja cerca de
dias. Portanto, o tempo é aproximadamente
meses e
dias. Se for necessário arredondar a meses inteiros, arredonda-se para
meses (dependendo do nível de precisão pedido).