Queståo 4. . (1,75 ponto) Dados um ponto A(3,1,2) e r:lx=1-2 t y=-2-t z=3+2 t pertencentes ao plano pi. Determine uma equação geral do plano pi.

Passo 1

O enunciado dá um ponto
que pertence ao plano . Vamos usar vetores: o vetor diretor de e um vetor que liga um ponto da reta a estão contidos no plano, e o produto vetorial desses vetores fornece a normal de .

Passo 2

Extraímos da reta um ponto P0 e seu vetor diretor d:
  • Para t=0, P0=(1,-2,3).
  • O vetor diretor é
    d=(-2,,-1,,2).
    Formamos o vetor que liga P0 a A:
P0A=A-P0=(3-1,;1-(-2),;2-3)=(2,,3,,-1)

Passo 3

Calculamos a normal vec n de pi pelo produto vetorial
vec n = vec d times P0A
vec n = i & j & k -2 & -1 & 2 2 & 3 & -1 =(-5,,2,,-4)
Podemos multiplicar por -1 para simplificar a equação, obtendo a normal
vec n=(5,,-2,,4).

Passo 4

A equação vetorial do plano com normal vec n=(5,-2,4) passando por A(3,1,2) é
5(x-3)-2(y-1)+4(z-2)=0
Expandindo:
5x-15-2y+2+4z-8=0
5x-2y+4z-21=0

Resposta

A equação geral do plano pi é
5x - 2y + 4z - 21 = 0

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