(a) O conjunto é também base de ? Justifique sua resposta ( 1,0 ponto);
(b) Se é o vetor na base , escreva como combinação linear dos vetores de (1,0 ponto);
(c) Determine a matriz mudança de base a matriz mudança de base de para , ou seja, ( 0,5 ponto).
Passo 1
O enunciado dá uma base de um espaço vetorial de dimensão 3 e define três vetores
Precisamos:
– (a) verificar se também é base de (isto é, se é linearmente independente e gera );
– (b) dado em relação a , achar a combinação em que produz ;
– (c) escrever a matriz de mudança de base de para , isto é .
Passo 2
Para checar se é base, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de na base . Como
em coordenadas , definimos
O conjunto A é base Leftrightarrowdet Pneq0.
Passo 3
Calculamos
det P = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 =1cdot(1cdot1-2cdot0)-2cdot(1cdot1-2cdot1)+1cdot(1cdot0-1cdot1) =1-2(-1)-1=2neq0
Logo A é linearmente independente e gera V, isto é, é base.
Passo 4
Para (b), como , temos
Queremos , ou seja
isto é, o sistema
Passo 5
Da terceira equação x1+x3=3Rightarrow x1=3-x3. Substituindo nas outras vem x2=-1 e x3=0. Portanto
s=3,a1-1,a2+0,a3 Longrightarrow s=3a1-a2
Passo 6
A matriz de mudança de base de A para B, que leva coordenadas em A às coordenadas em B, é justamente
[ I] B^ A =P = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1
Resposta
(a) Sim. Como det P=2neq0, os vetores a1,a2,a3 são linearmente independentes e formam base de V.
(b) s=3a1 - a2.