Seja a base B=u, v, w do subespaço V e os vetores:
a1=u+v+w a2=2 u+v a3=u+2 v+w
(a) O conjunto A=a1, a2, a3 é também base de V ? Justifique sua resposta ( 1,0 ponto);
(b) Se sB=(1,2,3) é o vetor s na base B, escreva s como combinação linear dos vetores de A (1,0 ponto);
(c) Determine a matriz mudança de base a matriz mudança de base de A para B, ou seja, [I]B^A ( 0,5 ponto).

Passo 1

O enunciado dá uma base B=u,v,w de um espaço vetorial V de dimensão 3 e define três vetores
a1=u+v+w, a2=2u+v, a3=u+2v+w
Precisamos:
– (a) verificar se A=a1,a2,a3 também é base de V (isto é, se é linearmente independente e gera V);
– (b) dado sB=(1,2,3) em relação a B, achar a combinação em A que produz s;
– (c) escrever a matriz de mudança de base de A para B, isto é [I]B^A.

Passo 2

Para checar se A é base, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de a1,a2,a3 na base B. Como
a1=(1,1,1), a2=(2,1,0), a3=(1,2,1)
em coordenadas (u,v,w), definimos
P= 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1
O conjunto A é base Leftrightarrowdet Pneq0.

Passo 3

Calculamos
det P = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 =1cdot(1cdot1-2cdot0)-2cdot(1cdot1-2cdot1)+1cdot(1cdot0-1cdot1) =1-2(-1)-1=2neq0
Logo A é linearmente independente e gera V, isto é, é base.

Passo 4

Para (b), como , temos
Queremos , ou seja
isto é, o sistema

Passo 5

Da terceira equação x1+x3=3Rightarrow x1=3-x3. Substituindo nas outras vem x2=-1 e x3=0. Portanto
s=3,a1-1,a2+0,a3 Longrightarrow s=3a1-a2

Passo 6

A matriz de mudança de base de A para B, que leva coordenadas em A às coordenadas em B, é justamente
[ I] B^ A =P = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1

Resposta

(a) Sim. Como det P=2neq0, os vetores a1,a2,a3 são linearmente independentes e formam base de V.
(b) s=3a1 - a2.
(c) [ I] B^ A = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1

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