Seja V=R^4, com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar usuais, e o conjunto A de V abaixo:
A=(3,5,6,1),(2,3,4,0),(1,3,2,3)
Obter explicitamente o subespaço S gerado por A, S=>=r A, uma base para S e sua dimensão dim S (1,5 ponto).

Passo 1

O enunciado dá e o conjunto
Queremos encontrar o subespaço , uma base de e . Vamos usar conceitos de combinação linear, dependência e independência de vetores, e definição de base e dimensão.

Passo 2

Verificamos se há relação linear entre
Isso dá o sistema
Da última equação fica . As outras equações fecham automaticamente. Tomando obtemos
logo é combinação linear de e o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Como fica no span de , temos

Passo 4

Os vetores v1=(3,5,6,1) e v2=(2,3,4,0) são linearmente independentes (basta ver que a única solução de alpha v1+beta v2=0 é alpha=beta=0). Logo
v1,v2 é uma base de S e
dim S=2

Resposta

O subespaço gerado é
S=,s(3,5,6,1)+t(2,3,4,0)mid s,tinR
Uma base de S é (3,5,6,1),,(2,3,4,0) e dim S=2.

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