Seja , com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar usuais, e o conjunto de abaixo:
Obter explicitamente o subespaço gerado por , uma base para e sua dimensão (1,5 ponto).
Passo 1
O enunciado dá e o conjunto
Queremos encontrar o subespaço , uma base de e . Vamos usar conceitos de combinação linear, dependência e independência de vetores, e definição de base e dimensão.
Passo 2
Verificamos se há relação linear entre
Isso dá o sistema
Da última equação fica . As outras equações fecham automaticamente. Tomando obtemos
logo é combinação linear de e o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Como fica no span de , temos
Passo 4
Os vetores v1=(3,5,6,1) e v2=(2,3,4,0) são linearmente independentes (basta ver que a única solução de alpha v1+beta v2=0 é alpha=beta=0). Logo v1,v2 é uma base de S e