Questão 6. ( 1,5 ponto) Encontre o àngulo formado entre os planos gamma:cx=2+2 h+3 t y=-1+h+t z=2-h e pi1: 2 x-y+3 z-4=0 .

Passo 1

O enunciado pede o ângulo formado entre o plano gamma, dado por coordenadas paramétricas, e o plano pi1colon 2x - y + 3z - 4 = 0. O conteúdo aqui é geometria analítica: a medida do ângulo phi entre dois planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais ngamma e npi1, dado por
phi = arccos!l(lvert ngamma!cdot!npi1rvert|ngamma|;|npi1|r)

Passo 2

Para achar o vetor normal de gamma, primeiro extraímos dois vetores diretores a partir da parametrização
x = 2 + 2h + 3t, y = -1 + h + t, z = 2 - h
Os vetores diretores são
u = (2,,1,,-1) e v = (3,,1,,0)

Passo 3

Calculamos o vetor normal de gamma como o produto vetorial
ngamma = u times v = i & j & k 2 & 1 & -1 3 & 1 & 0 = (1,,-3,,-1)

Passo 4

O vetor normal de pi1 é imediatamente lido dos coeficientes da equação:
npi1 = (2,,-1,,3)
Em seguida calculamos o produto escalar e as normas:
ngamma!cdot!npi1 = 1cdot2 + (-3)cdot(-1) + (-1)cdot3 = 2 + 3 - 3 = 2,
|ngamma| = raiz1^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = raiz11, |npi1| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz14
Logo
cosphi = lvert 2rvertraiz11,raiz14 = 2raiz154

Passo 5

Aplicando a definição do arco cosseno, obtemos
phi = arccos!l(2raiz154r)

Resposta

phi = arccos!l(2raiz154r)

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