Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(e^{x}+2 y \operatorname{cosh} x\right) y^{\prime}+y^{2} \operatorname{sinh} x+y^{2} \operatorname{cosh} x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(e^{x}+2y\operatorname{cosh} x\bigr)\,y' \;+\;y^{2}\operatorname{sinh} x\;+\;y^{2}\operatorname{cosh} x \;=\;0
é exata. Para isso, vamos reescrevê-la na forma
M(x,y)\,dx \;+\;N(x,y)\,dy \;=\;0
e comparar \tfrac{\partial M}{\partial y} com \tfrac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Reescrevendo
\bigl(e^{x}+2y\operatorname{cosh} x\bigr)\,y' + y^{2}\operatorname{sinh} x + y^{2}\operatorname{cosh} x =0 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(y^{2}\operatorname{sinh} x + y^{2}\operatorname{cosh} x\bigr)\,dx + \bigl(e^{x}+2y\operatorname{cosh} x\bigr)\,dy =0,
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M(x,y)=y^{2}(\operatorname{sinh} x+\operatorname{cosh} x)=y^{2}e^{x}, \quad N(x,y)=e^{x}+2y\operatorname{cosh} x.
Calculamos as parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y\,e^{x}, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=e^{x}+2y\operatorname{sinh} x.
Como
2y\,e^{x}\neq e^{x}+2y\operatorname{sinh} x
a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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