Questão 1 (0.7pt cada item) Sobre a trajetória parametrizada pela função vetorial
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2} \vec{i}+\frac{2 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} \vec{j}+\frac{t^{3}}{3} \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
tangente unitário \vec{T} em t=2 :
( ) 2 \vec{i}+4 \vec{j}+4 \vec{k}
( ) 2 \vec{i}+3 \sqrt{2} \vec{j}+4 \vec{k}
( ) \frac{\vec{i}+2 \vec{j}+2 \vec{k}}{5}
( ) \frac{2 \vec{i}+3 \sqrt{2} \vec{j}+4 \vec{k}}{9}
( ) \frac{2 \vec{i}+3 \sqrt{2} \vec{j}+4 \vec{k}}{\sqrt{38}}
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário \vec T à curva
\vec r(t)=\frac{t^{2}}{2}\,\vec i+\frac{2\sqrt{2}}{5}\,t^{5/2}\,\vec j+\frac{t^{3}}{3}\,\vec k
no ponto t=2. Para isso, vamos usar que
\vec T(t)=\frac{\vec r\,'(t)}{\|\vec r\,'(t)\|},
ou seja, derivamos componente a componente e depois normalizamos.

Passo 2

Derivando componente a componente, temos
\vec r\,'(t) =\bigl(t,\;\tfrac{2\sqrt{2}}{5}\cdot\tfrac{5}{2}\,t^{3/2},\;t^{2}\bigr) =(t,\;\sqrt{2}\,t^{3/2},\;t^{2}).

Passo 3

No ponto t=2,
t^{3/2}=2^{3/2}=2\sqrt{2},
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\vec r\,'(2) =(2,\;\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2},\;4) =(2,\;4,\;4).

Passo 4

O módulo de \vec r\,'(2) é
\|\vec r\,'(2)\| =\sqrt{2^{2}+4^{2}+4^{2}} =\sqrt{4+16+16} =\sqrt{36} =6.
Portanto o vetor tangente unitário em t=2 é
\vec T(2) =\frac{\vec r\,'(2)}{6} =\frac{(2,4,4)}{6} =\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 5

Nenhuma das opções dadas coincide com \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\bigr).

Resposta

nenhuma das anteriores

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