Questão 1 (0.7pt cada item) Sobre a trajetória parametrizada pela função vetorial
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2} \vec{i}+\frac{2 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} \vec{j}+\frac{t^{3}}{3} \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
aceleração \vec{a}(t) em t=2 :
( ) 2 \vec{i}+4 \vec{j}+4 \vec{k}
( ) \vec{i}+3 \vec{j}+4 \vec{k}
( ) 2 \vec{i}+3 \sqrt{2} \vec{j}+4 \vec{k}
( ) \frac{\vec{i}+3 \vec{j}+4 \vec{k}}{\sqrt{26}}
( ) \vec{i}+\frac{3 \sqrt{2}}{2} \vec{j}+2 \vec{k}
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a trajetória
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2}\,\vec{i}+\frac{2\sqrt{2}}{5}\,t^{5/2}\,\vec{j}+\frac{t^{3}}{3}\,\vec{k}, \quad t\ge0
e pede a aceleração \vec{a}(t) no instante t=2. Para isso, vamos diferenciar \vec{r}(t) duas vezes: primeiro para obter a velocidade \vec{v}(t) e depois para obter a aceleração \vec{a}(t)=\vec{v}'(t).

Passo 2

Calculamos a velocidade \vec{v}(t)=\vec{r}'(t) derivando cada componente:
\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr)=t,\quad \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{5}\,t^{5/2}\Bigr) =\tfrac{2\sqrt{2}}{5}\cdot\tfrac{5}{2}\,t^{3/2} =\sqrt{2}\,t^{3/2},\quad \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr)=t^{2}.
Logo,
\vec{v}(t)=t\,\vec{i}+\sqrt{2}\,t^{3/2}\,\vec{j}+t^{2}\,\vec{k}.

Passo 3

Agora diferenciamos \vec{v}(t) para obter a aceleração:
\vec{a}(t)=\vec{v}'(t) =\frac{d}{dt}(t)\,\vec{i} +\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{2}\,t^{3/2}\bigr)\,\vec{j} +\frac{d}{dt}(t^{2})\,\vec{k}.
Calculando,
\frac{d}{dt}(t)=1,\quad \frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{2}\,t^{3/2}\bigr) =\sqrt{2}\cdot\tfrac{3}{2}\,t^{1/2},\quad \frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Portanto,
\vec{a}(t)=1\,\vec{i}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\,t^{1/2}\,\vec{j}+2t\,\vec{k}.

Passo 4

Avaliamo em t=2. Como \sqrt{2}^{\,1/2}=\sqrt{2},
\vec{a}(2) =\vec{i} +\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\sqrt{2}\,\vec{j} +2\cdot2\,\vec{k} =\vec{i}+\frac{3\sqrt{2}\,\sqrt{2}}{2}\,\vec{j}+4\,\vec{k} =\vec{i}+3\,\vec{j}+4\,\vec{k}.

Passo 5

Comparando com as alternativas apresentadas, a única que coincide é
\vec{i}+3\,\vec{j}+4\,\vec{k}.

Resposta

\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}

Exercícios relacionados