Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
, onde
Passo 1
O problema é resolver a equação diferencial
onde
O método é usar a transformada de Laplace para converter a EDO numalgebraica em
, resolver para
e depois inverter para
.
Passo 2
Expressamos
em termos de funções degrau unitário
. Note que
pois isso gera zero antes de
, valor
entre
e
e zero depois de
.
A transformada de Laplace é
A transformada de Laplace é
Passo 3
Aplicamos
em cada termo de
. Como
e
, obtemos
Isolando
:
Passo 4
Separamos
em duas parcelas:
- A parte livre
. - A parte forçada
.
O inverso de
é imediato:
Passo 5
Para inverter
, usamos frações parciais:
Multiplicando por
dá
Logo
Passo 6
Aplicamos o teorema do deslocamento para a parte forçada:
Assim
Portanto a solução completa é
Passo 7
Usando
e
, podemos escrever de modo mais explícito em três trechos:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: