Questão 1 (0.7pt cada item) Sobre a trajetória parametrizada pela função vetorial
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2} \vec{i}+\frac{2 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} \vec{j}+\frac{t^{3}}{3} \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
vetor normal unitário \vec{N}(t) em t=2 :
( ) \frac{\vec{i}+3 \vec{j}+4 \vec{k}}{\sqrt{26}}
( ) \frac{\vec{i}+2 \vec{j}+2 \vec{k}}{3}
( ) \frac{-2 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k}}{3}
( ) \frac{\vec{i}+2 \vec{j}+2 \vec{k}}{3}
( ) \frac{-\vec{i}+\vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a trajetória parametrizada
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2}\,\vec{i}+\frac{2\sqrt{2}}{5}\,t^{5/2}\,\vec{j}+\frac{t^{3}}{3}\,\vec{k},\quad t\ge0
e pede o vetor normal unitário \vec{N}(t) em t=2. Para isso precisamos usar a definição de vetor tangente unitário
\vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|},\quad \vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t),
e então obter o vetor normal
\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}\,'(t)}{\|\vec{T}\,'(t)\|}.

Passo 2

Calcular a velocidade
\vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t). Derivando componente a componente:
\vec{v}(t)=\bigl(t,\;\sqrt{2}\,t^{3/2},\;t^{2}\bigr).
O módulo é
\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{t^{2}+2t^{3}+t^{4}} =\sqrt{t^{2}(1+2t+t^{2})} =t\,(t+1).
Logo o vetor tangente unitário é
\vec{T}(t) =\frac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|} =\Bigl(\frac{1}{t+1},\,\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{t}}{t+1},\,\frac{t}{t+1}\Bigr).

Passo 3

Derivar \vec{T}(t) para obter \vec{T}\,'(t). Em cada componente:
T_{1}(t)=(t+1)^{-1}\;\Rightarrow\;T_{1}'(t)=-\frac{1}{(t+1)^{2}},
T_{2}(t)=\frac{\sqrt{2}\,t^{1/2}}{t+1} \;\Rightarrow\; T_{2}'(t) =\sqrt{2}\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{t}(t+1)}-\frac{\sqrt{t}}{(t+1)^{2}}\Bigr),
T_{3}(t)=\frac{t}{t+1} \;\Rightarrow\; T_{3}'(t)=\frac{1}{(t+1)^{2}}.
Portanto
\vec{T}\,'(t) =\Bigl(-\tfrac{1}{(t+1)^{2}},\; \sqrt{2}\bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{t}(t+1)}-\tfrac{\sqrt{t}}{(t+1)^{2}}\bigr),\; \tfrac{1}{(t+1)^{2}}\Bigr).

Passo 4

Avaliar \vec{T}\,'(t) em t=2. Aqui t+1=3 e \sqrt{2} surge na componente 2:
T_{1}'(2)=-\frac{1}{9},\quad T_{2}'(2) =\sqrt{2}\Bigl(\frac{1}{6\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{9}\Bigr) =-\frac{1}{18},\quad T_{3}'(2)=\frac{1}{9}.
Assim
\vec{T}\,'(2) =\Bigl(-\tfrac{1}{9},\,-\tfrac{1}{18},\,\tfrac{1}{9}\Bigr) \propto (-2,\,-1,\,2).

Passo 5

O vetor normal unitário é
\vec{N}(2) =\frac{\vec{T}\,'(2)}{\|\vec{T}\,'(2)\|} =\frac{-2\,\vec{i}-1\,\vec{j}+2\,\vec{k}}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}} =\frac{-2\,\vec{i}-\vec{j}+2\,\vec{k}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{-2\,\vec{i}-\vec{j}+2\,\vec{k}}{3}

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