Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=U(t-1), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com forçamento por degrau deslocado,
y'' - 5y' + 6y = U(t-1),
sujeito a y(0)=0 e y'(0)=1. O método será usar a transformada de Laplace, resolvendo em s e depois invertendo de volta para t.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} e usando
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1, \quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s),
obtemos
s^2Y(s)-1 \;-\;5\bigl(sY(s)\bigr)\;+\;6Y(s) \;=\;\mathcal{L}\{U(t-1)\}.
Como \mathcal{L}\{U(t-1)\}=e^{-s}/s, segue
\bigl(s^2-5s+6\bigr)Y(s)-1=\frac{e^{-s}}{s} \;\;\Longrightarrow\;\; Y(s)=\frac{1}{s^2-5s+6}+\frac{e^{-s}}{s\,(s^2-5s+6)}.

Passo 3

Primeiro invertemos
Y_1(s)=\frac{1}{(s-2)(s-3)}.
Fazendo frações parciais,
\frac{1}{(s-2)(s-3)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-3},
com A+B=0 e -3A-2B=1, vem A=-1, B=1. Logo
y_1(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y_1(s)\} =-e^{2t}+e^{3t}.

Passo 4

Agora tratamos
Y_2(s)=\frac{e^{-s}}{s\,(s-2)(s-3)} =e^{-s}\,\frac{1}{s\,(s-2)(s-3)}.
Em frações parciais
\frac{1}{s\,(s-2)(s-3)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s-3},
com sistema
A+B+C=0,\quad -5A-3B-2C=0,\quad 6A=1
A=\tfrac16, B=-\tfrac12, C=\tfrac13. Assim
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s\,(s-2)(s-3)}\Bigr\} =\tfrac16 -\tfrac12\,e^{2t} +\tfrac13\,e^{3t}.
Pelo teorema do deslocamento,
y_2(t) =U(t-1)\Bigl[\tfrac16 -\tfrac12\,e^{2(t-1)}+\tfrac13\,e^{3(t-1)}\Bigr].

Resposta

Combinando, a solução é
y(t)=-e^{2t}+e^{3t} +U(t-1)\Bigl[\tfrac16 -\tfrac12\,e^{2(t-1)}+\tfrac13\,e^{3(t-1)}\Bigr].

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