Questão 1 (0.7pt cada item) Sobre a trajetória parametrizada pela função vetorial
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2} \vec{i}+\frac{2 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} \vec{j}+\frac{t^{3}}{3} \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
vetor binormal \vec{B}(t) em t=2 :
( ) \frac{2 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}}{3}
( ) \frac{2 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}}{3}
( ) \frac{-\vec{i}+\vec{k}}{2}
( ) \frac{\vec{i}-\sqrt{2} \vec{j}+\vec{k}}{2}
( ) \frac{\vec{i}-\sqrt{2} \vec{j}+\vec{k}}{2+\sqrt{2}}
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec r(t)=\frac{t^{2}}{2}\,\vec i+\frac{2\sqrt2}{5}\,t^{5/2}\,\vec j+\frac{t^{3}}{3}\,\vec k, \quad t\ge0
e pede o vetor binormal \vec B(t) em t=2. Lembrando que
\vec B(t)=\frac{\vec r'(t)\times\vec r''(t)}{\bigl\|\vec r'(t)\times\vec r''(t)\bigr\|},
vamos calcular \vec r'(t), \vec r''(t), o produto vetorial e depois normalizar em t=2.

Passo 2

Derivando componente a componente,
\vec r'(t) =\bigl(t,\;\sqrt2\,t^{3/2},\;t^{2}\bigr), \qquad \vec r''(t) =\Bigl(1,\;\tfrac{3\sqrt2}{2}\,t^{1/2},\;2t\Bigr).

Passo 3

O produto vetorial é
\vec r'(t)\times\vec r''(t) =\Bigl\langle \sqrt2\,t^{3/2}\cdot2t - t^{2}\cdot\tfrac{3\sqrt2}{2}\,t^{1/2},\; -\,\bigl(t\cdot2t - t^{2}\cdot1\bigr),\; t\cdot\tfrac{3\sqrt2}{2}\,t^{1/2} - \sqrt2\,t^{3/2}\cdot1 \Bigr\rangle =\Bigl\langle\tfrac{\sqrt2}{2}\,t^{5/2},\;-t^{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2}\,t^{3/2}\Bigr\rangle.

Passo 4

Em t=2 temos 2^{5/2}=4\sqrt2, 2^{3/2}=2\sqrt2 e 2^{2}=4, logo
\vec r'(2)\times\vec r''(2) =\langle4,\,-4,\;2\rangle.
A norma é \sqrt{4^{2}+(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{36}=6, então o binormal unitário é
\vec B(2) =\frac{1}{6}\,\langle4,-4,2\rangle =\Bigl\langle\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr\rangle =\frac{2\vec i-2\vec j+\vec k}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\vec i-2\vec j+\vec k}{3}

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