Questão 1 (0.7pt cada item) Sobre a trajetória parametrizada pela função vetorial
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2} \vec{i}+\frac{2 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} \vec{j}+\frac{t^{3}}{3} \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
curvatura em t=2 :
( ) 1
( ) \frac{1}{6}
( ) \frac{1}{36}
( ) \frac{\sqrt{2}}{8}
( ) \frac{\sqrt{2}}{2}
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede a curvatura \kappa da curva parametrizada por
\vec r(t)=\frac{t^{2}}{2}\,\vec i+\frac{2\sqrt2}{5}\,t^{5/2}\,\vec j+\frac{t^{3}}{3}\,\vec k
no ponto t=2.
Conteúdo usado: derivadas vetoriais, produto vetorial e fórmula
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec r'(t)\times \vec r''(t)\bigr\|}{\bigl\|\vec r'(t)\bigr\|^{3}}.

Passo 2

Calculamos \vec r'(t) componente a componente:
\vec r'(t)=\bigl(t,\;\sqrt2\,t^{3/2},\;t^{2}\bigr).

Passo 3

Derivando de novo, obtemos
\vec r''(t)=\Bigl(1,\;\tfrac{3\sqrt2}{2}\,t^{1/2},\;2t\Bigr).

Passo 4

Formamos o produto vetorial \vec r'\times\vec r'':
\vec r'(t)\times \vec r''(t) =\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\,t^{5/2},\;-\,t^{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2}\,t^{3/2}\bigr).
Em seguida, seu módulo é
\bigl\|\vec r'\times \vec r''\bigr\| =\sqrt{\tfrac{1}{2}t^{5}+t^{4}+\tfrac{1}{2}t^{3}} =\sqrt{\,t^{3}\bigl(\tfrac12t^{2}+t+\tfrac12\bigr)\,}.

Passo 5

O módulo de \vec r'(t) é
\bigl\|\vec r'(t)\bigr\| =\sqrt{t^{2}+2t^{3}+t^{4}} =t\,(t+1).
Logo
\bigl\|\vec r'(t)\bigr\|^{3} =t^{3}(t+1)^{3}.

Passo 6

Aplicamos a fórmula da curvatura:
\kappa(t) =\frac{\sqrt{t^{3}\bigl(\tfrac12t^{2}+t+\tfrac12\bigr)}}{t^{3}(t+1)^{3}} =\frac{\sqrt{\tfrac12t^{2}+t+\tfrac12}}{t^{3/2}(t+1)^{3}}.
Agora em t=2:
\tfrac12\cdot2^{2}+2+\tfrac12=2+2+\tfrac12=\tfrac92, \quad \sqrt{\tfrac92}=\frac{3}{\sqrt2}, \quad 2^{3/2}=2\sqrt2, \quad (2+1)^{3}=27.
Portanto
\kappa(2) =\frac{\tfrac{3}{\sqrt2}}{2\sqrt2\cdot27} =\frac{3}{54\cdot2} =\frac{1}{36}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{36}

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